杆系结构有限元|输入数据格式

基本数据结构与MDA_1程序相同，并根据自由度“释放”和“等效变换”的需要，在单元和结构信息中补充输入对应信息。下面将接合示例，对数据输入格式进行相应说明。以MDA_1程序分析图5.23所示结构，对单元2始端竖向自由度释放。因此，对应数据格式输入为：图5.23单元自由度释放计算结果输出文件如下：画内力图。以结点2为主结点，3结点为从结点，指定结点23在其连线方向平动自由度等效，数据文件如下。

理论教育 2023-08-23

杆系结构基本概念：单元自由度释放

图5.4重结点编号处理特殊结点“重结点”编号模式中，结点编号需要人工干预。如果重结点数目较多，会产生较大的数据前处理工作量。在实际工程分析时，结点编号和单元编号都是由系统自动生成的，引入重结点编号并不方便。在单元分析完成后，对单元实施自由度释放，此时所有存在的非协调于结点的杆端位移，皆视为“非独立”未知量予以释放，释放后的自由度不再参与整体分析。图5.5自由度释放后的结点与位移编码

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虚位移原理及其应用-杆系结构有限元

虚位移原理使用的是结构的真实平衡状态，故虚位移原理与静力平衡方程等价。平面杆系结构中虚应变能可写为：图3.4一般杆系的虚功表达式（3.6）适用于平面杆系中同时考虑轴向、剪切和弯曲变形的杆件，可用于表达虚功原理和虚位移原理中应变能的计算式。

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杆系结构有限元：结构坐标系中的单元刚度矩阵

单元坐标系与结构坐标系间的关系较规整时，也可按概念直接推导结构坐标系统下的单元刚度矩阵元素。图2.8单元刚度矩阵元素对于单元①：α=90°，若按式计算，执行矩阵乘法计算量较大，故根据单元刚度元素kij的性质进行元素推导，如图2.9所示。图2.9结构整体坐标系下的杆端自由度kij的意义为：在结构坐标系下，杆端自由度j发生单位位移，在i自由度方向上需作用力的大小。

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杆系结构有限元：自由度释放后的整体分析

此时单元杆端力可据式（5.6）的原理，在被释放自由度的单刚方程中进行计算。②确定需要释放的整体坐标系统下单元自由度位置，利用单位阵划列取得矩阵子块元素的数据传送矩阵：③可从原单刚中取得计算所需的各子块：④自由度释放的单刚和固端力根据公式计算：⑤单元和整体自由度间的数据传送矩阵，同样剔除被释放自由度，做划列处理。

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杆端刚域几何变换方法

图5.10带刚域杆单元的始端结点自由度变换单元分析首先是建立在弹性段的基础上，而结点自由度与弹性部分端点自由度的关系则根据几何变换确定。图5.11带刚域杆单元末端结点自由度变换根据图5.11，j0端结点自由度可由j端自由度表示如下：整理成变换矩阵形式，有：3）结点几何变换合并几何变换矩阵、，可在两个广义坐标系统之间建立如下几何变换关系：其中：

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杆系简介，结构有限元

结构分析时常会应用到的积分过程，一般使用数值积分方法进行计算。表3.1给出了5个积分点和对应权系数的常数值，构造了不低于九次多项式函数对应的代数精度，在杆系有限元分析中，一般的计算已经可以满足要求。表3.1高斯-勒让德积分常数高斯-勒让德数值积分程序段如下所示，可用于单元刚度矩阵元素、单元等效荷载等数值积分问题。

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杆系结构动力分析自由度

1）动力分析自由度的基本构成动力分析自由度可根据参与平衡条件的力进行选择。由于确定弹性恢复力的刚度特征不仅用于确定动平衡，还要以之计算动位移对应的内力分布，故通常由可完整描述结构弹性变形的分析自由度表达。由于动力分析的运动方程为微分或偏微分方程组，计算量对自由度数目非常敏感。

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杆系结构有限元：矩阵特别运算和变换探究

根据力学在矩阵分析中的一些特定要求，在基本运算基础上，还可以定义出一些矩阵特别运算与变换。1）矩阵特征值、特征向量特征问题是矩阵分析时一个重要的运算方法，如在动力计算和稳定分析时，就会直接使用到矩阵的特征分析。2）矩阵相似变换使用可逆矩阵B对方阵A进行如下运算：上式称为对矩阵进行相似变换，变换后得到的矩阵C称为原矩阵A的相似矩阵，或称矩阵C与矩阵A相似。相似变换不会改变矩阵的特征值。

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单元分析的基本内容简介

根据位移法和矩阵位移法的原理，单元分析的目的是获取单元结点位移与结点力之间的变换关系，即寻找结点位移向量δe和结点力向量Fe之间的变换矩阵Ke，以建立单元的刚度方程：结点位移向量δe是位移法分析的基本未知量，其分量取决于单元有多少结点、结点有多少自由度，与单元的受力与变形特征相关。由于单元内部始终存在无穷多个连续点，故满足边界条件和连续条件的可能位移分布函数，原则上为无限自由度。

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杆系结构有限元软件，综合结点荷载向量

图2.15单元等效结点荷载表2.1中给出了一些典型荷载作用作用下单元的固端约束力。4）综合结点荷载向量将直接结点荷载向量FJ与等效结点荷载向量FPE进行叠加，即得到综合结点荷载向量。试求图2.16所示结构的综合结点荷载向量F。按表2.1所列计算式，可求得：计算单元等效结点荷载，并将单元定位向量写在的右侧，以便于定位传送，即有单元①：单元②：单元③：利用单元定位向量形成等效结点荷载列阵FPE。

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正交坐标系下的向量旋转变换

此时坐标的旋转变换独立发生在3个轴上，而非平面体系中仅对一个轴上发生。图1.3空间直角坐标系统的旋转变换空间直角坐标系统下，对应于坐标系X-Y-Z和x-y-z，向量的变换关系仍可写为：正交变换矩阵T0可根据x-y-z中3个轴分别在坐标系X-Y-Z的方向余弦确定。

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杆系结构有限元-工程实用分析方法

1）反应谱法底部剪力法和振型分解反应谱法都是使用反应谱法处理地震效应。地震作用是随机荷载，动力系数显然无法通过解析计算确定。底部剪力法是根据剪力分配法的基本概念，综合考虑反应谱法和基本振型影响效应为主的实用近似计算方法。因此，底部剪力法的计算精度取决于以下两点：①模型适用剪力分配法的程度；②基本振型对动力响应的代表程度。3）振型叠加反应谱法弹性设计时，空间杆系结构一般采用振型分解反应谱法。

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平面梁单元考虑剪、弯变形的分析结果

图4.13截面的弯曲变形、剪切变形截面变形向量表示为：有效截面力向量自然也包含两个分量，即截面剪力和截面弯矩。图4.14结点自由度本章单元分析是以截面分析为基础的，故本类单元仍直接推导考虑剪、弯效应下，截面的变形插值函数。图4.18第4自由度单位位移的变形与内力可得：据式—式，合并以上各系数，即可得考虑剪切变形时的变形插值函数矩阵为：代入式，即有：式即为考虑剪、弯变形时平面杆元的单元刚度矩阵。

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平面交叉梁系单元在杆系结构有限元中的应用

平面交叉梁系的分析对象一般为空间框架结构中的楼盖部分。图4.19平面交叉梁系的单元自由度在单元坐标系统下，对应的杆端力向量和杆端位移向量中，分量为：1）截面刚度关系在单元坐标系统下，考虑扭、弯变形时，截面的有效变形包括相对x轴的扭转变形和相对工程轴y轴的弯曲变形分量。

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强迫振动中的阻尼矩阵：杆系结构有限元

但由于低阶振型对动力响应的贡献通常占据绝对优势，故高阶阻尼比的变化也可以忽略，不致带来较大误差。2）瑞利阻尼也可直接定义一个可以通过主振型变换为对角方阵的阻尼矩阵。由于刚度矩阵和质量矩阵均可由主振型矩阵实现对角化，故两个矩阵的任意线性组合皆可在相同的广义坐标变换下，形成对角的广义阻尼矩阵，以确保主振型空间内阻尼力仍在各自由度间不相耦合。

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