贝叶斯公式：理解与应用

由乘法公式和全概率公式易得贝叶斯公式.定理6.2设A1，A2，…，n，则贝叶斯公式可以用来进行因、果推理，有许多“原因”可以造成某“结果”，而现已观察到这“结果”发生了，希望推断造成这个结果出现的诸多“原因”的可能性大小.设事件A1，A2，…

理论教育 2023-06-29

正交变换法的原理与应用

，xn）=XTAX，易得如下定理.定理5.2对于任意n元二次型f=XTAX，必存在正交变换X=UY，使得其中λ1，λ2，…，λn的标准正交特征向量.由定理5.2可得用正交变换X=UY化二次型f=XTAX为标准形的步骤如下.写出二次型f（x1，x2，…

理论教育 2023-06-29

正交矩阵及其性质探究

αn），有易得ATA=E的充分必要条件是即A的列向量组α1，α2，…，αn是正交单位向量组.因为A是正交矩阵，由定理4.6得AT也是正交矩阵，所以AT的列向量组是正交单位向量组，即A的行向量组也是正交的单位向量组.如，利用定理4.7容易验证A是正交矩阵，而B不是正交矩阵，因为B的行（或列）向量组虽然两两正交，但不是单位向量组.

理论教育 2023-06-29

全概率公式- 详解和应用

从已知的简单事件的概率来推算未知的复杂事件的概率是解决问题的有效方法，为此需把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件之和，再通过分别计算这些简单事件的概率得到最后的结果.定理6.1设A1，A2，…，10，本例所求即计算P，P，P.利用全概率公式即有事实上，依次类推可得，每一人抽到有奖奖票的概率都是0.3.

理论教育 2023-06-29

初等变换法求矩阵的秩

定理2.7初等变换不改变矩阵的秩.证由于对矩阵作初等列变换就相当于对其转置矩阵作初等行变换，因而只需证明，作一次初等行变换不改变矩阵的秩即可.由于k阶子式是行列式，利用行列式的性质，不难证明第一种与第二种初等行变换不改变矩阵的秩，下面仅就第三种初等行变换给出证明.设R（Am×n）=r，且按行分块有先证明R（B）≤R（A）.只需证明矩阵B的所有r+1阶子式Mr+1=0.分以下三种情况：（1）Mr

理论教育 2023-06-29

向量和线性运算

，an）T的负向量，记为-α.显然，一个n元行向量就是一个1×n矩阵；而一个n元列向量就是一个n×1矩阵.例如，含有n个未知量的线性方程组的解就是一个n元列向量（x1，x2，…，n，则称向量α与β相等，记作α=β.下面给出在2维、3维向量中我们熟知的加法与数乘运算推广至n元向量.定义3.3设有两个n元向量α=（a1，a2，…

理论教育 2023-06-29

矩阵乘法详解

定义2.6设A=m×s为m×s矩阵，B=s×n为s×n矩阵，那么矩阵A与B的乘积AB定义为一个m×n矩阵C=m×n，即AB=C=m×n,其中cij=ai1b1j+ai2b2j+…

理论教育 2023-06-29

矩阵转置的操作方法

定义2.7把m×n矩阵的行列依次互换得到的一个n×m矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A′，即例如，矩阵的转置满足以下规律：T=A.T=kAT，其中k为实数.(A±B)T=AT±BT.T=BTAT.将和推广到有限多个矩阵的情形，有(A1±A2±…，n）.A=n×n为反对称矩阵的充要条件是aij=-aji（i，j=1，2，…

理论教育 2023-06-29

n阶行列式的定义

在引入逆序数的定义后，下面进一步观察2阶和3阶行列式的展开规律，以寻求定义n阶行列式的新规律.2阶行列式的展开式（1.3）为3阶行列式的展开式（1.7）为通过研究，可以发现以下规律：2阶行列式的展开式是2！项的代数和.3阶行列式的展开式是3！jn）为奇数时，乘积项式前取负号.因此，n阶行列式可以表示为其中表示对所有的n级排列求和，故此代数和共有n！

理论教育 2023-06-29

正定二次型和正定矩阵

，λn+1＞1，所以推论3n元实二次型f=XTAX为正定二次型的充分必要条件是其规范形为推论4n元实二次型f=XTAX为正定二次型的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵C，使得A=CTC，即A与单位矩阵合同.由于计算二次型矩阵A的特征值和化二次型为标准形比较麻烦，下面介绍一个由给定的二次型直接去判断它为正定二次型的充分必要条件.先介绍如下概念.定义5.7设A为n阶矩阵，取其第1，2，…

理论教育 2023-06-29

向量组的线性组合优化方案

+knαn=β成立，即常数项组成的列向量β是否可表示成方程组的系数矩阵的列向量组α1，α2，…，s）都是此向量组的一个线性组合，因为αj=0·α1+0·α2+…从定义3.4易得下列结果.定理3.4向量β可由向量组α1，α2，…，αs等价.对称性若向量组α1，α2，…

理论教育 2023-06-29

正交向量组与施密特正交化方法

，αs是一正交向量组.设有一组数k1，…+ksαs=0,用αi与式两边的向量作内积，得(αi,k1α1+…，αs线性无关.注意：定理4.4的逆命题不成立.如线性无关，但α1，α2，α3不是正交向量组.既然线性无关的向量组α1，α2，…，βs是正交向量组.上述正交化过程称为施密特正交化方法.再将β1，β2，…

理论教育 2023-06-29

行列式的两个性质：化三角与下三角行列式拆分

，n），得[例1.12]设利用化三角法，证明：D=D1D2.证*对D1作适当的行运算ri+krj，可把D1化为下三角行列式对D2作适当的列运算ci+k′cj，可把D2化为下三角行列式因此，先对D的前k行作行运算ri+krj，然后对D的后n列作列运算ci+k′cj，把D化为下三角行列式故，，即同理，可以证明以上两个结论可以作为公式使用.

理论教育 2023-06-29

概率的统计学定义

先假定有一不均匀硬币，要想测得其正面朝上的概率，大家都会想到一个简单的办法，就是不断地抛硬币n次，记录其朝上的次数nA次，那么就是我们想要的概率的近似值.历史上曾有许多学者做过类似大量的试验，都一致地发现，随着抛硬币的次数n逐渐的增大，会围绕一个固定值上下波动，且波动的幅度越来越小.在相同的条件下重复进行n次试验，事件A发生的次数为nA（称为事件A发生的频数），比值称为事件A发生的频率，记作fn（

理论教育 2023-06-29

离散型随机变量的定义

随机变量的全部可能取值是有限个或可列无限多个，我们称这类随机变量为离散型随机变量.定义7.3设随机变量X的可能取值为xk（k=1，2，…,(7.2)且满足条件：pk≥0,k=1,2,…

理论教育 2023-06-29

特征值与特征向量的性质简析

性质1n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值.证由T=（λE）T-AT=λE-AT，得则A和AT有相同的特征多项式，所以它们的特征值均相同.性质2设n阶矩阵A=的n个特征值为λ1，λ2，…，λk-1的k-1个特征向量ξ1，ξ2，…，m）的线性无关的特征向量，则由这些特征向量所组成的向量组ξ11,ξ12,…

理论教育 2023-06-29