颤振控制效果的优化方法

为了验证上面的分析，图6-6给出了一个仿真算例。在τ3时刻，振动控制被引入系统，其效果使得系统的振动幅值进一步的减小。图6-7切削深度dg的时间历程图比较虚线是未施加控制时切削深度的时间历程，具有较大的振幅。图中的虚线显示了磨削颤振时切削深度的波动具有最大的振幅，且产生了工件与砂轮分离的现象。细实线则表明了分岔控制可以有效地减小颤振的振幅，并且避免了分离现象的发生，而系统颤振的频率并没有被改变。

理论教育 2023-07-02

物理模型：基于Euler-Bernoulli梁的线性磨削力公式分析

同时，工件被看作一个简支于两个尾架上的Euler-Bernoulli梁，它具有密度ρ、弹性模量E、阻尼Cw、半径rw和转速Nw。然后，根据Liu所采用的线性磨削力公式（2-3），可以知道磨削力与工件和砂轮位移的关系为考虑到工件的两端简支边界条件，可以将工件的位移Xw（t，S）展开为将公式（2-7）代入模型（2-1）并采用Galerkin截断的方法且仅保留工件的第一阶模态（i=1），可以得到简化后的磨削动力学模型为

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超临界Hopf分岔引起磨削颤振现象分析

在得到了规范型方程以后，接下来就可以通过讨论振幅B来研究磨削颤振的产生过程。由方程可知，方程中的α和β分别代表了颤振运动近似解的振幅以及频率修正项。而当时，该磨削过程开始失稳，颤振产生，此时振幅α将会逐渐增大。如果再有，则α将会稳定于α2，这就是周期性的颤振的振幅，称这里发生了超临界Hopf分岔。

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解析颤振机理与抑制方法

在颤振的机理得到解释之后，人们开始致力于颤振抑制的研究。Nayfeh和Nayfeh[173]采用时滞反馈控制的办法去抑制车削加工中的颤振。后来，Long[29]又在研究铣削颤振的工作中采用了一种被称为半离散化方法，讨论了变转速控制对抑制铣削颤振的有效性。此外，值得一提的是，近期Kong等人[190]的研究表明，不仅周期性变转速，采用混沌信号改变主轴转速也能取得不错的颤振抑制效果。

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亚临界Hopf和Bautin分岔分析

前面通过理论和数值的办法，详细讨论了由超临界Hopf分岔所诱发的周期性颤振运动。然而，进一步的研究表明，在参数区域中，还同时存在着亚临界的Hopf分岔。此外，在这两个点重合的时候，也就是超临界Hopf分岔和亚临界Hopf分岔转变的时候，这个点被称作Bautin分岔。因此，相比于超临界Hopf分岔的情况，条件稳定区域的存在使得在分析磨削动力学的研究中很有必要考虑非线性的因素。

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再生颤振的理论分析及应用

时变的切削深度影响切屑的厚度，而切屑厚度改变切削力，最后切削力又导致工件和刀具的相对位置发生改变，由此，Arnold构建了颤振理论的动力学基础。除了由Hopf分岔诱发的周期性颤振，Stépán[142-143]、Wahi和Chatterjee[144]等人还发现了概周期颤振、倍周期颤振乃至混沌颤振等多种不同的切削颤振运动。由此可见，基于再生颤振模型建立的切削动力学方程极大地方便了广大学者对于切削稳定性和切削颤振的研究。

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磨削颤振现象的分析与研究

对应于这两种不同的由稳定磨削过渡到颤振运动的情况，再次采用分岔分析的办法讨论了可能发生的颤振运动。图5-3放大后的稳定性参数区域，图中箭头A和B对应于κ1=1.15的情况图5-4分岔图，描述最大max dg和最小磨削min dg深度与参数τw之间的关系对应于图5-3中的箭头A，对应于箭头B。图5-5显示了经由图5-3中的各个箭头所产生的颤振运动。

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多尺度分析的优化方法探讨

套用多尺度分析方法，将原始时间τ扩展成为不同的时间尺度T0=τ、T1=ετ 和T2=ε2τ。相应的，常微分算子转变为与此同时，方程（6-5）的解y（τ）被展开为对应于新引入的多个时间尺度和被摄动的参数，时滞项可以被展开为其中yikτj=yik，。如前面所说，方程有解的充分必要条件是其中的长期项要全部被消除，即其中所有和eiωT0成比例的项都应该被消去。因此，为了能够消除磨削颤振，需要通过调节振动控制的振幅，使得a1＜0。

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磨削颤振运动的分岔分析及稳定性区域探究

为了分析磨削颤振运动，对方程进行了数值积分，并针对每一个p 的值记录了其对应的最大切削深度，且最终得到了分岔图。考虑如图4-3所示的磨削稳定性区域，我们分别构造了两幅不同的分岔图。可以看出当砂轮移动到工件中心附近，工件颤振具有最大的振幅，而当砂轮离开工件中心向其两端移动之后，工件颤振振幅会逐渐减小直到突然消失。由砂轮颤振振幅和工件颤振振幅形成的曲面在参数平面τw-p 上出现了叠加。

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优化砂轮和工件的相互作用效果

然而，真实的磨削深度Dg除了包含Dn，还需要考虑由砂轮和工件之间的磨削力Fg所引起的让刀现象。在区域Ⅰ中，已经被磨损的砂轮在磨削还没有被磨削过的工件表面，因此，区域Ⅰ中的磨削深度Dg与砂轮的磨损和砂轮工件的当前相对位置有关Δ（t，P）。图4-2砂轮与工件的相互作用。

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磨削刚度非线性关系下的等效模型

第4章指出，工件的第一阶模态最容易被激发出来。可以看到，同样是磨削刚度，这里的kc和方程（2-8）中的kc有所不同，这主要体现实际加工中，磨削力与切削深度的关系是非线性的。相应的，就可以将方程（5-6）转变为式中，xw为等效的工件位移，；mw为等效的工件质量，；cw为等效的工件阻尼，；kw为等效的工件刚度，；Ff为等效的进给力。可以看到，方程（5-9）是一个等效的数学模型，对应于图5-1中的力学模型。

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磨削加工中的颤振失稳现象及其分岔行为分析

图6-2磨削过程稳定性边界采用前面所使用的多尺度方法和分岔理论，可以研究磨削加工失稳并产生颤振的过程，结果见图6-3。从图中可以看出，该磨削过程中的再生颤振由亚临界的Hopf分岔产生，更为重要的是，稳定的颤振仅产生于工件和砂轮失去接触以后。图6-3系统的动力学行为沿着箭头A的分岔图从上面的分析可以看出，由亚临界Hopf分岔产生的颤振往往具有较大的振幅，以至于导致磨削过程中砂轮和工件失去接触。

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多尺度分析方法应用于颤振运动的摄动分析

下面采用多尺度方法对颤振运动进行摄动分析。首先，需要引入不同的时间尺度T0=τ、T1=ετ和T2=ε2τ，其中，ε是一个远小于1的无量纲参数，用来在摄动分析中帮助匹配不同的量级。根据Nayfeh提出的多尺度方法[206]，为确保方程的解中不存在长期项，其中的ST1必须被消除。

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多尺度分析：深入探究不同尺度之间的关系

接下来套用多尺度分析方法，将原始时间τ扩展成为不同的时间尺度T0=τ、T1=ετ 和T2=ε2τ。如前面所说，方程有解的充分必要条件是其中的长期项要全部被消除，即其中所有和eiωT0成比例的项都应该被消去。

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多尺度方法分析磨削稳定性中的摄动效应

为了理论地分析磨削稳定性，这里采用多尺度方法。与前一章一样，该方法引入多重时间尺度T0=τ 和T1=ετ，并且将方程的解展开为其中i代表g，1，2，…在方程中，αg代表砂轮的振幅而αi（i=1，2，…同样，工件的第i阶模态稳定的条件是方程中对应的αi前面的系数分别为负。显然，由于，方程的左端应满足从方程可以看出，工件高阶模态的稳定性条件不会被破坏，即再生力仅会诱发工件低阶模态的颤振。

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静态位移的求解方法及其应用

考虑到边界条件，即方程（4-2），方程（4-1）的解可以展开为当颤振没有发生时，由方程（4-8）所表示的解与时间t无关，此时可将静态的砂轮和工件位移记为Xg=和Xw（t，S）==。相对应的，方程（4-1）被简化为其中是砂轮和工件之间的静态相对位移。很容易从方程得到显然，方程是静态相对位移Δ的隐函数，可以用数值的办法求解。在利用方程求得Δ以后，可以再利用方程分别解出和（i=1，2，…

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