揭示数据科学的数学基础重要性

大数据的时代来临，这是最近在各种媒体经常听到的一句口号或者一个概念。数据当然是数学的事情，可是在媒体中参与大数据讨论的人里有很多前几天还在讲自己作为学生时最痛恨的学科是数学。他们都是为了国家安全处理大数据的国家机构。而介绍“大数据”本身，就是一个大数据的问题，是一个大数据分析的过程。数据科学的对象是数据。

理论教育 2023-11-18

数学之外与数学之内：有效数字与近似计算

因为且，因此可知用来近似π有3位有效数字，绝对误差界为0．5×10-2，相对误差界为0．5×10-2／3．14，即0．16×10-2。近似数0．00325具有三位有效数字，0．325的有效数字也是三位，但0．003250却具有四位有效数字。我们知道了一个近似数的有效数字位数，就可以知道它的绝对误差限和相对误差限，也就得到了它的精确度。下面我们举两个例子，计算并同时理解有效数字和相对误差等的意义及它们的相互关系。

理论教育 2023-11-18

数学之外与数学之内：探索数的无量纲特性

也就是说，数是没有单位量纲的。做一个水下机器人打扫游泳池，现在很容易做到。但要造一个水下机器人搜寻海底的坠机，并不像做数学——只要乘一个常数或者改变量纲就可以实现的。而计算机就采用二作为基本的分组单位，可以用电子的正负、颜色的黑白、光盘唱片的高低、磁极的方向来刻画或者记录数字。一是从一个苹果之类抽象出来的，而零则是从自然数、负数这些抽象的概念中产生的更加抽象的概念。

理论教育 2023-11-18

庞加莱世界：数学与现实的奇妙结合

不过这个圆盘描述的是庞加莱世界，对这些天使和魔鬼本身来说，所有的天使和魔鬼都是一样大小，是完全平等的。尽管在我们看来，庞加莱星盘是一个有限的圆盘，但对于庞加莱世界里的人们来说，他们觉得生活在一个无限的世界中。按照庞加莱世界的特性，庞加莱人的身高和他们所处位置到星盘边界的距离大约成正比，从而他们的步伐长短也与到边界的距离成正比。

理论教育 2023-11-18

惠更斯的陶塔赫隆娜曲线与旋轮线的等时性

惠更斯把这种曲线称为“陶塔赫隆娜”曲线。他取得了成功，这种曲线不是别的，正是前面讨论过的旋轮线！它们在运动过程中垂直向下的速度始终是相同的，所以它们到达旋轮线底部点B的时间应该是相同的。而第二个运动因为是匀速圆周运动，它需要的时间是可计算的，就是π，所以将小球挪到旋轮线上任意一点P0放手，小球沿着旋轮线下滑到点B所用的时间就是π，它与点P0的高度没有关系。

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在棋盘格中有多少个长方形

在学生找我面试时，我经常出下面的题目：一个国际象棋8×8的棋盘上面有多少个长方形？首先应该是长方形的定义。很好，你已经注意到了在这个题目中长方形定义的重要性。数数就是排序，要对棋盘里所有的长方形进行排序，让它们与自然数做一一对应。这也是计算机并行算法的核心所在。一个系统工程就可以这样用并行算法完成了。

理论教育 2023-11-18

数学之外：复数的欧拉公式

在所有的数学公式中，被数学家公认为最美的数学公式就是eiπ＋1＝0，这个公式也是以欧拉名字命名的公式之一。而且，这些常数来历各异，分属不同的学科，欧拉公式却以这样和谐的方式将它们统一起来，无疑是一个奇迹，它深刻地体现了数学的美妙与和谐，无怪乎人们会认为它是数学中最美的公式。这个欧拉公式成为复变函数的基础。

理论教育 2023-11-18

大学生歌咏会的致辞–音乐与数学的奇妙交织

音乐是给人带来欢快的旋律。数学似乎是单调的、枯燥的，我们是为了逃避单调枯燥才来参加歌咏会的。数学史上最著名、最伟大、应用最广的数学理论就从好听的和声中产生了。巴赫在作曲中运用了很多数学的基本原理。它的相邻项之比的极限是“黄金分割数”。中国古代的音乐实际上只使用了钢琴上的黑键数，并且这个黑键数最终与“黄金分割”有关，甚至与一切生命、一切社会的发展模式有关。这就是数学，而这只是数学的一个乐章片断。

理论教育 2023-11-18

游戏中的胜出秘籍-数学之外与数学之内

在德州扑克游戏中，每位参加者的5张牌不是一次发给的，一般首先各发2张，进行“押注”，然后再发1张牌，再“押注”，直至发满5张，且第一次发的2张牌，其中1张是不亮出的，其他牌发下就亮出。例3：甲、乙双方进行德州扑克游戏，假设5张牌已分发完毕，甲乙双方亮出的4张牌如图12所示，那么，甲和乙谁赢的可能性大呢？

理论教育 2023-11-18

数学以外与数学以内：圆外与圆内旋轮线周期的研究

关于圆外与圆内旋轮线的周期性，设定圆半径为R，动圆半径为r，我们发现：当半径之比R／r为有理数时，圆内（或外）旋轮线有周期性；当半径之比R／r为无理数时，圆内（或外）旋轮线没有周期性。下面以圆外旋轮线为例予以证明，圆内旋轮线的证明与其类似。由此可见，在动圆滚动500周内，无周期出现；随着滚动圈数的增加，旋轮线在一圆环区域上越来越密集。

理论教育 2023-11-18

巴塞尔问题的欧拉公式及其数学之外用法

于是，这个问题被冠以伯努利家乡巴塞尔的名字公之于世，被称为“巴塞尔问题”。然而，1735年年仅28岁的欧拉解决了这个问题，并因此而成名。欧拉求出的和是π2／6，即我们也称它为欧拉公式。而更让人佩服的是欧拉求出这个值的方法是如此巧妙。，与多项式类比，应有将上式右边乘积展开，并和前面的无穷级数表示比较x2的系数，立即就得到欧拉的公式。

理论教育 2023-11-18

频率与概率：频率体现事件A发生频繁度，概率是极限值

所以，频率的大小表示事件A发生的频繁程度，也体现了事件A发生的可能性大小。当试验次数不断增加，事件A发生的频率的极限值（稳定值）即为事件A的概率，记为P，概率有以下基本性质：对任意事件A，P≥0；若样本空间记为S，则P＝1；若事件A1，A2，…也就是有A∪＝S，显然，对两个事件A和B，至少有一个发生的概率P（A∪B）＝P+P-P（A∩B），其中P（A∩B）表示A，B同时发生的概率。

理论教育 2023-11-18

数学之外与数学之内之对比或者数学之外与数学之内的异同

所以要在太空中做裸眼看长城的实验，这些外部条件非常重要。根据上面的数据，太空中肉眼看长城的视角比为1∶10000。所以回答在太空中是否可以看见并看清长城，用头发做的实验要比用硬币做的实验正确，因为长度帮助我们更容易看见、看清。那么，利用仪器是否更加容易看到长城呢？

理论教育 2023-11-18

对数表制作方法：首张是怎样制作的？

对数运算与对数表就是在这样的背景下产生的。他用了20年的时间来制作第一张对数表，在这一过程中，他始终怀着一个崇高的目标：减轻未来计算人员的劳动。下面我们来看看他们是怎样制作对数表的。别尔基造的对数表就是用数做底的，这张表在1620年出版，称为“算术级数和几何级数表”。纳皮尔的对数表是以做底，因此更加精确。

理论教育 2023-11-18

共同体积：两垂直圆柱体相交部分

如图14所示，有两个具有相同底面半径R的圆柱体，设它们的（中心）轴相交，且交角为直角，求这两个圆柱体公共部分的体积。但这没有关系，我们采用如下的方法：作一张平面经过两圆柱体相交的轴，称这张平面为轴平面，它把物体分成前后相等的两半。过两轴交点作轴平面的垂直线，则其包含在前一半物体内的部分长为R。

理论教育 2023-11-18

为什么元旦定在那一天？数学之外与数学之内

又到了公历元旦。每年此时总会有个疑问萦绕在脑中，为什么要把这一天定为元旦？那为什么不把圣诞日作为元旦呢？元旦那天中午头顶上的是摩羯座，摩羯当头的日子是从12月22日到1月20日。现在我们知道格里历的元旦是以耶稣出生后的那个儒略历元旦作为元旦计算的，那么，儒略历的元旦是怎么来的呢？儒略历的元旦是以历法颁布的那天作为元旦的。

理论教育 2023-11-18