方圆问题的实质和解答难题：几何学的限制和放弃

很多人可能会人云亦云地说，方圆问题不可解，但对这个问题的实质和解答上的困难之处却一知半解。也就是说，方圆问题不可解的原因，是π为一个超越数，它不可能由一个有理系数的代数方程解出来。从某种意义上讲，他是唯一一个成功解答方圆问题的人。虽然这个答案是否定的，但他证明了在几何学上，方圆问题根本没办法作出图。于是，1889年以后，很多数学家都选择放弃，方圆问题也告一段落。以上是关于方圆问题的理论。

理论教育 2023-11-03

趣味几何学：埃及与罗马人的几何奇趣

但在古时候，就算是埃及祭司或罗马帝国最杰出的建筑师，也很难精确地计算出圆的周长。当时，埃及人认为圆的周长为直径的3.16倍，罗马人则认为应该是3.12倍。与后来的数学家不同，当时的数学家们并不是利用几何学知识进行计算的，而完全根据经验来计算。由此可以看出，与3.14相比，通过该方法得到的π值存在的误差还真不小，可能是3.1或3.12，或者是3.17。当然了，也有可能正好是3.14，不过，与其他的值一样，这个值并没有引起测量者的特别关注。

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趣味几何学：自己动手做测量尺

虽然测量和计算得并不精确，但在当时的条件下足够用。所有的准备工作都做好以后，就可以开始测量了。做这些时我必须非常小心，因为即使一个很小的测量误差，也有可能导致最后的结果产生巨大的误差。我唯一能做的是用手摸，如果这样做，我一边要摸到长木棍上和水桶顶部相平的地方，一边还要防止长木棍发生倾斜，如果发生倾斜，测量出的高度就不准确。到此为止，我得到了自己需要的全部数据。

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月球与地球相距14倍直径，地球阴影长度为月球阴影4倍

众所周知，空间中的任何物体都会在空间投下阴影，星体同样如此。以月亮为例，它在宇宙空间中留下的是一个圆锥形的阴影。那么，这个阴影到底有多长呢？因此，月球的阴影顶端与月球相距14个月球的直径。我们假设地球阴影的顶端视角也是0.5°，则地球阴影的长度与月球阴影的长度之比，正好和地球直径与月球直径的比值相等，即4∶1，因此地球阴影的长度为月球阴影的长度的4倍。

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视力极限与人眼感知的有趣几何学

人眼的视力是有极限的，对距离很远却很大的物体会这样，对那些距离很近却很小的物体同样如此。一些文学作品有时会描写此类情景，比如契诃夫的小说《草原》中就有一段描述：瓦夏的眼睛很灵敏，他可以看到很远的地方。瓦夏的眼睛非常尖，所以他能看到更加有趣的世界。此时，我们就会突破视力的极限，将物体的很多细节看得一清二楚。但是，该答案是对视力正常的人而言的。这里的100步将一些视力稍差的人的可视范围也包括在内。

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测算神秘岛的经度-儒勒·凡尔纳小说中的测量经度方法

接着，我们来看一下儒勒·凡尔纳的小说中与测定经度有关的几段内容：工程师在没有任何测量仪器的前提下，怎样才能确定太阳经过岛上子午线的准确时间呢？观察结果显示，与华盛顿子午线时间相比，这个岛上的子午线的时差大约为5小时。也就是说，当岛上为正午时，华盛顿是下午5点。最后，需要说明的是，测量某个位置的经度的方法有很多，在儒勒·凡尔纳的小说中，主人公所采用的方法只是其中一种。

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聪明乌鸦的几何学故事

小学课本里通常会有一个故事，与一只聪明的乌鸦有关。最后，乌鸦想到一个好办法，找了一些小石头，将它们扔进瓶子里。这里，我们没有必要去讨论这只乌鸦是否真的如此聪明，我们感兴趣的只是故事中的几何学知识。假设瓶子里水的高度恰好为瓶子的一半，这只乌鸦能否喝到水？假设这只乌鸦足够聪明，它会摇动瓶子，使里面的石块挨得更紧，水面完全有可能升高到原来的2倍，但这根本不可能。

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巨人与侏儒体重比：2753∶753≈49倍，身高比：8倍多

如果我说巨人的体重大概是侏儒的50倍，肯定有很多人表示怀疑，下面就来计算一下，看看是不是这样。这个比例关系为2753∶753=113∶33≈49巨人的体重大约为侏儒的50倍！倘若这个传言是真的，则他们体重的比例关系一定会让人更加惊讶。由这些数据可知，他们身高的比例关系为8倍多，他们体重的比是597。需要说明的是，巨人与侏儒的体重比例关系都是估算的，被夸大也是难免的。我们在前面已经说过，前提是这些人的身材比例相同。

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彩虹膜勾勒油膜厚度-趣味几何学

你有没有注意到一种情况：洗碗的时候，水面上的油会形成一层颜色鲜艳的膜。将一定数量的油倒在一个大水池的中央，当油完全散开变成一个大圆斑后，将这个圆斑的直径测量出来，进而计算出它的面积，油的体积为已知条件，这样很容易就能计算出油膜的厚度。如此薄的膜，根本不可能用普通工具直接测量出来。有一些油或肥皂液的膜比这层煤油膜更薄，仅为0.000 1毫米。

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和为定值的情况下，乘数的最大乘积是多少？

如买地的问题，巴霍姆付出了一定的努力，到底怎样做，得到的土地才最多呢？接下来，我们再来讨论几个类似问题，它们会用到几何学上的另一个内容，即定和乘数的乘积。我们已经知道，两个和一定的数，它们的乘数和乘积具有一些通用的性质。比如，在周长相等的情况下，正方形的面积大于矩形的面积。若换成3个数，也就是说，只要3个数的和一定，前面的性质仍然适用。

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利用初等几何学与解析几何的结合，精确计算出木材或容器体积

即使是一棵被砍倒在地上的树干，我们也很难将它的精确体积计算出来，顶多得到一个近似值。原因是，即使树干非常平整，没有任何坑洼，也无法像圆柱体或圆锥体那样用公式将体积计算出来。利用初等几何学的知识，我们能够精确地计算出某个恒星或行星的体积，但若想得知一段木材的体积或一个啤酒桶的容积，绝不可能只用初等几何学，必须借助解析几何和积分运算。接下来，利用初等几何学中的知识进行计算就非常简单了。

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趣味几何学：马克·吐温的夜行记

有一个人可以跟这个故事中的少年航海家媲美，他就是大幽默家马克·吐温。马克·吐温与马因·里德来自同一个国家，他有一段有趣的经历：在旅馆的一间黑屋子里度过了一整夜。下面这个故事来自马克·吐温的《国外旅行记》：我醒来后觉得口干舌燥，此时，我的脑海里萌生一个美好的想法：穿上衣服，走到花园里，呼吸一下新鲜空气，然后在喷泉旁洗把脸。

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果戈理塔高度错误，建高塔视野不会改变

实际上，果戈理的这种想法是不对的。因此，果戈理所说的“只要将现在这座塔筑高一两层，视野便会截然不同”是错的。所以，果戈理说的建一座“可以看到150俄里之外的高塔”，只是一个美好的幻想而已。当然，在思考这个问题的时候，果戈理可能并没有意识到，想看到那么远的地方，高塔必须建得非常非常高。

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测算《神秘岛》纬度，经度判断方法详解！

在《神秘岛》中，有一段描述是关于如何判断岛的纬度的，这对我们有很大的帮助，所以我把它抄了下来。“当然，今天晚上天气很晴朗，我现在先测出南十字座的高度，然后将南极距离地平线的高度测量出来，最后就能确定这个岛的纬度。明天中午，倘若天气仍然晴朗，我就可以确定这个岛的经度。”第一天晚上将南极距离地平线的高度测量出来，在第二天白天，当太阳经过子午线的时候，他就能判断出该岛所处的地理位置，即纬度和经度。

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正方形的特性：周长相等面积最大

综上可知，在周长相等的所有矩形中，面积最大的是正方形。假设上面的结论是错误的，也就是说，在面积相等的情况下，正方形的周长并不是最短的。上文中，若巴霍姆知道正方形的这两个特性，他完全可以根据自己的体力，让自己获得最大的土地面积。反之，若巴霍姆只想得到一块很小的土地，比方说36平方俄里，那么他只需花费一点体力，走出一个边长为6俄里的正方形就行了。

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巴霍姆为何选择梯形而非矩形？关于面积的有趣几何学发现

巴霍姆走出的路线是一个梯形，他原本想走出一个矩形，结果却走成了梯形，这是因为事先没有算好。走出来的这个梯形和矩形相比，哪个对他更有利呢？也就是说，若矩形的周长相等，一定能找出一个面积最大的来。若将前面列出来的每个矩形进行比较，我们就会看出，矩形的两个边长差距越小，面积就越大。这意味着当矩形变成正方形时，面积最大。

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