微积分典型例题与解法

微积分典例：求平均成本函数和边际成本

1.已知总成本函数C＝C（Ｑ）＝Ｑ3-12Ｑ2+60Ｑ+98，求（1）平均成本函数及产量为7时的平均成本；（2）边际成本函数及产量为7时的边际成本.．解 （1）平均成本函数为故产量为7时的平均成本为．（2）边际成本函数为C′（Ｑ）＝3Ｑ2-24Ｑ+60，故产量为7时的边际成本为C′（7）＝3·72-24·7+60＝39．2.已知某产品的总收益函数为Ｒ＝10Ｑ-0.04Ｑ2.求（1）该产品的价格函数
理论教育 2023-10-23

函数微积分例题：求函数定义域与复合函数定义域

1.求函数的定义域.（1） （2）解 （1）函数的定义域满足ｌN（×+2）≠0，即×+2＞0，且×+2≠1，故函数的定义域是｛-2＜×＜-1｝∪｛×＞-1｝.（2）函数的定义域满足，即×2≤10，故函数ｙ＝的定义域是.2.设ｙ＝f（×）的定义域是［0，1］，求复合函数f（SIN×）的定义域.解 因为ｙ＝f（×）的定义域是［0，1］，故复合函数f（SIN×）的定义域满足SIN×∈［0，1］，故复合函
理论教育 2023-10-23

微积分典型习题解法-微积分典型例题与解法

1．求下列函数的偏导数．（1）设ｚ＝eｕSINｖ，而ｕ＝×ｙ，ｖ＝×+ｙ，求和；（2）设ｕ＝f（×，ｙ，ｚ）＝e×2+ｙ2+ｚ2，而ｚ＝×2SINｙ，求和；（3）设ｚ＝ｕｖ，而ｕ＝×+2ｙ，ｖ＝×-ｙ，求和；（4）设ｕ＝f（×2-ｙ2，e×ｙ），求和；（5）设，求，和．解 （1）（2）（3）（4）（5）2．设ｚ＝f（×ｙ，×2+ｙ2），其中f具有二阶连续偏导数，求，．解 令S＝×ｙ，ｔ＝×2+ｙ2
理论教育 2023-10-23

证明：在（0，1）内至少有一个实根

+AN×N＝0在（0，1）内至少有一实根.证 设f1，则f（×）在［0，1］上连续，在（0，1）内可导，且，故由罗尔定理知方程A0+A1×+A2×2+…
理论教育 2023-10-23

微积分：求解函数极值-微积分典型例题与解法

1．求下列函数的极值．（1）ｚ＝×2-×ｙ+ｙ2+9×-6ｙ+20；（2）ｚ＝×2+ｙ2-2ｌN×-2ｌNｙ；（3）ｚ＝×ｙ（A-×-ｙ）（A≠0）．解 （1）解方程组求得驻点（-4，1）．又A＝f××（-4，1）＝2＞0，B＝f×ｙ（-4，1）＝-1，C＝fｙｙ（-4，1）＝2，AC-B2＝3＞0．由判定极值的充分条件知，在点（-4，1）处，函数取得极小值f（-4，1）＝-1．（2）解方程组求得
理论教育 2023-10-23

微积分典型例题与解法-习题-导数、方程、极限问题

1．计算下列各导数． 解 ＝-SIN×CoS-CoS×CoS2．设函数ｙ＝f（×）由方程所确定，求．解 方程两边对自变量×求导，可得eｙｙ′+CoS×＝0整理得．3．设，，求．解4．求下列各极限． 解 5．当×为何值时，函数有极值？
理论教育 2023-10-23

微积分习题：函数连续性和间断点判断

1.证明函数ｙ＝×2连续.证 任取，故函数ｙ＝×2在×0点连续.由×0的任意性，函数ｙ＝×2连续在Ｒ内连续.2.讨论函数×＜0×＝0在×＝0处的连续性.×＞0解所以函数f（×）在×＝0处既是左连续又是右连续，从而函数f（×）在×＝0处连续.3.求下列函数的间断点，并判断类型.（1） （2）（3） （4）解 （1）×＝2为函数ｙ的间断点，×＝2为函数ｙ的无穷间断点.（2）由于，所以×＝1为函数ｙ的可
理论教育 2023-10-23

微积分典型例题与解法：讨论函数连续性，求间断点类型

）处不连续.例10 讨论函数的连续性.若有间断点，判别其类型.解 当×＞1时，；当×＜1时，；故显然f（×）在×＜1和×＞1时都是连续的，由，知×＝-1为可去间断点；由，知×＝1为可去间断点.例11 求的间断点并判断类型.解 ｔAN×的无定义点和零点分别为×＝kπ和（k＝0，±1，±2，…）是f（×）的第一类可去间断点；而×＝kπ，（k＝±1，±2，…）为f（×）的第二类间断点.
理论教育 2023-10-23

微积分典型例题与解法：计算曲线所围成的平面图形的面积

1．计算下列曲线所围成的平面图形的面积．（1）ｙ＝×2，ｙ＝×（2），ｙ＝×，×＝2（3），ｙ＝×+4 （4）ｙ＝e×，ｙ＝e-×，×＝1（5）ｙ＝×2-×，ｙ＝1-×2 （6）ｙ＝×2，4ｙ＝×2，ｙ＝1解 （1）ｙ＝×2与ｙ＝×的交点为（0，0）和（1，1），取×为积分变量，变化区间为［0，1］，则面积为．（2）取×为积分变量，变化区间为［1，2］，则面积为（3）与ｙ＝×+4的交点为（-2，2
理论教育 2023-10-23

微积分习题解答和计算实例，包括换元法、分部积分和函数奇偶性

1．用换元法计算下列各定积分．（1） （2）（3） （4）（5） （6）解 （1）（2）（3）（4）（5）（6）2．用分部积分计算下列各定积分．（1） （2）（3）（4） （5）解（1）（2）因此有．（3）（4）（5）3．利用函数奇偶性计算下列各定积分．（1） （2）（3） （4）（5）解 （1）由于被积函数是奇函数，因此．（2）由于被积函数是奇函数，因此．（3）．（4）．（5），易看出被积函数是
理论教育 2023-10-23

微积分典型例题与解法-一阶偏导数求解与应用

1．求下列函数的一阶偏导数．（1）ｚ＝×3ｙ-ｙ3× （2）（3）ｚ＝SIN（×ｙ）+CoS2（×ｙ）（4）（5）ｚ＝（1+×ｙ）ｙ （6）解 （1），（2）（3）（4）（5）（6），，2．设，求f×′（×，1）．解 解法一 由于解法二．3．设f（×，ｙ）＝e×2+ｙ2，求f×′（1，1），fｙ′（1，0）．解 解法一 由于f（×，1）＝e×2+1，所以f×′（×，1）＝e×2+1·2×，f×′
理论教育 2023-10-23

微积分典型例题与解法-习题解答

1.设ｙ＝6×3+3×2+×+5，求ｙ，ｙ．解ｙ＝＝（6×3）＝6·3·2·1＝36，ｙ＝0．2.设f（×）＝×e×2，求f″（×）．解f′（×）＝e×2+×·e×2·2×＝e×2f″（×）＝［e×2］′＝e×2·2×+e×2·4×＝2×e×23.求下列函数的N阶导数．ｙ＝SIN A× ｙ＝eB× ｙ＝ｌN（1+×）解 ｙ′＝BeB×，ｙ″＝B2 eB×，…
理论教育 2023-10-23
-已经加载完成-