数理逻辑的思想与方法

命题语义学及数理逻辑的思想与方法

形式语言中的符号序列或公式，本身并没有意义.对于形式系统中的符号序列，我们前面的工作都是从语法的角度对其作了种种考察，看它是否为该系统中的一个“语句”（即合式公式），该“语句”是不是本系统中的“定理”（即可证公式）等等.但是，形式系统的另一重要的研究价值在于它以其特有的方式，涉及我们生活的现实世界.因而探求形式系统的含义，解释符号序列的内容也是我们的一项十分重要的任务.总之，我们不仅要研究公式的语
理论教育 2023-11-22

数理逻辑思想方法：真值函项和函数f（x）和g（x）的比较

每一真值形式实际上都可以被看作一个函数，这个函数的自变元就是其中所含的命题变项，它的定义域和值域都是真值的集合，即{真，假}.定义2.1 一个函数，如果其自身的值是真值，其自变项所取的值也是真值，那么称这样的函数为真值函项.例如：p∨q，（p∧q），p∨q，p→q等等.由此可得：每一真值形式又都是一个真值函项.现在，我们来考察函数f（x）=1（x∈R）和g（x）=x 0（x∈R）.虽然f（x）和g
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数理逻辑：重言式的作用

这里我们主要介绍重言式的两个作用：①利用重言式，判定一个推理形式是否正确；②利用重言式，判定两个真值形式是否等值.在2.2.4节中已经指出：推理形式如果p，则q；p；所以，q.是正确的，并且与它相应的蕴涵式（（p→q）∧p→q）是一个重言式.实际上，判定一个推理形式是否正确，就是判定它所对应的蕴涵式是否为重言式.因为一个推理是由前提和结论两部分组成的.如果一个推理形式是正确的，那么由前提真必然能得
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数理逻辑：五个基本真值联结词

实际上这些结论在古希腊的逻辑学家那里就已经有了.他们研究过（p→q）形式的蕴涵关系，并把它定义为（p∨q）.下面的真值表告诉我们：（p→q）和（p∨q）的真值完全一样.从那时起，（p→q）的这个定义就一直被延用了下来.有什么道理吗？
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代入引理：数理逻辑的思想与方法

假定S是一个固定的符号集.定义6.1 给定公式α和两两不相同的个体变项x0，x1，…，xn以及任意的项t0，t1，…，tn/xn）.注意：在定义6.1的中，引进变项y是为了保证出现在ti0，ti1，…，tis-1之间的个体变项不会在代入后受到量词的“俘获”.当free（xβ）∩{xi|i∈{0，1，…，tn/xn）=xβ.对于xβ，也有同样的结论.注意，作联立代入时，x0，x1，…，Σ/xn））中成立.引理6.1 令x0，x1，…，tn/xn）），Σ（t1′（t0/x0，t1/x1，…，Σ（t′r-1（t0/x0，t1/x1，…
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数理逻辑中的特殊二元关系

定义3.11 设R是非空集合X上的一个二元关系.如果R具有自返性、对称性和传递性，那么称R是X上的一个等价关系.习惯上，人们将等价关系R记成～，还将〈x，y〉∈～记成x～y.例3.12 设A为生活在地球上所有人的集合，则R={〈x，y〉|x，y∈A并且x与y生活在同一个国家}是A上的一个等价关系.因为R具有：自返性、对称性和传递性.例3.13 令X={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，R
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关系的概念与数理逻辑的思想

〈3，3〉，〈3，6〉，〈3，9〉，…}，R[B]={4z|z∈Z+}∪{7z|z∈Z+}.关系的逆和复合具有下面的性质：R3=R1；dom（R-1）=ran，ran（R-1）=dom；（R-1）-1=R；-1=.关于-1=的证明如下：事实上，设〈x，y〉∈-1，则〈y，x〉∈R1R2.根据关系复合的定义得：存在z，使得〈y，z〉∈R1并且〈z，x〉∈R2.于是，存在z，使得〈x，z〉∈并且〈z，y〉∈R-11，由此可得：〈x，y〉∈，由定义1.3得，-1.同理可证：-1.故：-1=.其他性质的证明，留给读者练习.
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重言式判定方法-数理逻辑的思想与方法

一个真值形式不论多么复杂，我们都可以用真值表方法，判断它是否一个重言式.但是，当真值形式的构造比较复杂，或者所含命题变项的个数比较多时，构造它的真值表就是一件比较麻烦的事情.为此，这里给出两种比较简便的判定方法.一种是简化真值表方法，也叫赋值归谬法；另一种是真值树方法.它们都是以真值表方法为基础的.（1）简化真值表方法简化真值表方法特别适合于主联结词是“→”的蕴涵式.因为在p→q的真值表中，只有当
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谓词演算公理系统QC

谓词演算的公理系统QC建立以后，运用它的公理和推理规则，能生成无穷多条定理.但是，本节中，我们只给出QC系统中常用的，有关量词的一些可证公式及其证明.由于命题演算系统PC是一阶谓词演算系统QC的一个子系统，因此，PC的定理也都是QC的定理，并且在PC的定理中，用L公式替换后的结果，也都是QC的定理.（不妨设α是PC的定理并且α′是在α中用L公式替换后的结果，那么α在PC中就有一个证明.根据这个证明
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数理逻辑-狭谓词逻辑的作用和研究规则

在命题逻辑中，起本质作用的是联结词.我们已在第三章中确定了常用联结词的意义和使用规则.在命题逻辑中，主要研究的是复合命题的逻辑性质和推理关系，复合命题是由简单命题和联结词组成的，它的真假由所含简单命题的真假和所含联结词的意义所确定.简单命题是命题逻辑的基本单位.在命题逻辑中，我们并不分析这些基本单位又具有怎样的逻辑特征和结构.因此，使得有些命题之间正确的推理关系（如：传统的三段论原则）在命题逻辑中
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命题语言的形成规则-《数理逻辑的思想与方法》

甲：任一甲类符号、常项T和F都是合式公式.乙：如果符号序列X是合式公式，则X也是合式公式.丙：如果符号序列X和Y是合式公式，则（X∨Y）也是合式公式.丁：只有适合以上三条的符号序列才是合式公式，简称为公式，记作Wff.在解释形成规则之前，我们先引进并说明一些有关的语法符号（有些前面已经出现过）.（1）小写的希腊字母π是语法变项，它的值是甲类中任一符号，如p，q等；（2）大写的拉丁字母X，Y，Z是语
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数理逻辑－约束变项与自由变项改进

，tn-1））=var∪var∪…第1层：T，F，p，q，r，…第2层：T，F，p，q，r，…x P∨x Q（x，y），…第n+1层：α，其中：α是第n层的公式；（α∨β），其中：α是第n层的公式，β是低于第n层的公式；xα，xα，其中：α是第n层的公式，x在α中自由.
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