线性代数第二章：向量组的秩与矩阵的秩

，αm).联系第二章中矩阵的秩的定义，实际上向量组的秩就等于其对应矩阵的秩.定理1 矩阵的秩就等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.采用矩阵的最高阶非零子式以及矩阵的秩的定义，可以证明定理1，这里留给读者自己证明.并且，秩为r的矩阵中，最高阶非零子式Dr所在的列就是列向量组的一个最大无关组.约定符号r(α1，α2，…

理论教育 2023-11-07

矩阵对角化的条件及证明

下面就来讨论这个问题.定理3n 阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有 n个线性无关的特征向量.证明：必要性.设存在可逆矩阵P，使得设P=(α1，α2，…

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线性代数：排列逆序数与对换

pn中，如果有较大的数 pt排在较小的数ps的前面，则称pt与ps构成一个逆序，一个n级排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记成τ(p1p2…pn).例如，在4级排列3412中，31，32，41，42各构成一个逆序，所以，排列3412的逆序数τ=4.同样可计算排列52341的逆序数为τ=7.下面讨论计算逆序数的方法，为了讨论方便，不妨设一个n级排列p1p2…

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线性代数二阶行列式运算结果及定义

定义1 由4个数a11,a12,a21,a22及双竖线“”组成的符号称为二阶行列式.其中aij表示这个元素所在位置为第i行第j列.构成：二阶行列式含有两行、两列.横排的数构成行，纵排的数构成列.行列式中的数称为行列式的元素，相等的行数和列数“二”称为行列式的阶.含义：它按规定的方法表示元素a11,a12,a21,a22的运算结果，即为：由左上至右下的两元素之积a11a22，减去右上至左下的两元素之

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线性代数-三阶行列式相关知识

与二阶行列式相仿，对于三元线性方程组做类似的讨论，得到三阶行列式.定义2在双竖线“”内，排成三行三列的9个数组成的符号，称为三阶行列式.构成：三阶行列式含有三行、三列.横排的数构成行，纵排的数构成列.行列式中的数称为行列式的元素，相等的行数和列数“三”称为行列式的阶.含义：三阶行列式按规定的方法表示9个元素的运算结果，为6项的代数和，每项均为来自不同行不同列的三个元素之积，其符号的确定如下所示：

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线性代数|向量的内积及正交向量组定义与例题解析

定义1设有 2 个n维向量令(α，β)=a1b1+a2b2+…，αm中任意2个向量都是正交的，则称这个向量组为正交向量组.例2对于n维单位向量，，…，，判断它们是否是正交向量组.解：当i ≠j 时，=0,i,j=1,2，…，αm线性相关，则有m个不全为零的数s1,s2，…，sm，使得s1α1+s2α2+…+smαm=0以αiT左乘上式两端，得αiT(s1α1+s2α2+…，αm线性无关.

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线性代数：矩阵列空间与行空间

定义5 矩阵A的列（行）向量生成的子空间，称为矩阵的列（行）空间，记作C.若A是m ×n实矩阵，A的列向量组α1，α2，…，βm)是Rn的一个子空间.列空间是一个非常重要的概念，本章第二节讲过，方程组Ax=b有解等价于向量b能被向量组A：α1，α2，…

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线性代数：非齐次线性方程组解析

，αn,b等价；b属于A的列空间，即b∈C；r=r(A,b).练习题（六）1.求齐次线性方程组的一个基础解系.2.求齐次线性方程组的一个基础解系.3.证明性质4：设η是非齐次线性方程组Ax=b的特解，ξ为其导出组AX=0的通解，则ξ+η为非齐次线性方程组AX=b的通解.4.求解非齐次线性方程组.5.设四元非齐次线性方程组AX=b的系数矩阵A的秩为3，已知它的三个解向量为η1，η2，η3，其中η1=T，η2+η3=T，求方程组的通解.

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线性代数：子空间细节，验证及证明

+αn|α1∈W1，α2∈W2，…，αn∈Wn}，它也是V的子空间.练习题（二）1.验证如下集合是否是R4上的子空间.{|a1+a2+a3=a4}；.2.令Mn表示所有n阶方阵所构成的线性空间.令S={A∈Mn|AT=A}，T={A∈Mn|AT=A}.证明：S和T都是Mn的子空间，且S+T=Mn，S ∩T={0}.

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向量的加法和数量乘法及其性质|线性代数

二维、三维向量之间的最基本的运算是向量的加法和数量乘法，对于n维向量，也可做类似的操作.定义 3 两个n维向量α=(a1,a2，…，an)，称为行向量；也可以写为列的形式，如，称为列向量.列向量之间加法、数量乘法的定义及性质与上面的讨论完全类似.行向量和列向量可以通过转置运算相互转换，如，而βT=(b1,b2，…表示行向量.行向量和列向量均可视为特殊的矩阵进行处理，因此行向量αΤ和列向量β也可以做矩阵乘法的运算，即.

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线性代数-正定二次型的标准形及特征

通过前面的例子可以看出，二次型的标准形不是唯一的.但是，所有的标准形具有一些共同的特征.定理1设二次型f=xTAx的秩为r，若有两个可逆变换x=Py 及 x=Qz使及则s=t=r，且k1,k2，…，ks与λ1，λ2，…

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实对称矩阵的特征值和特征向量性质

，λn为A的n个特征值.证明：设A的互不相同的特征值为λ1，λ2，…，s)恰有ri个线性无关的实特征向量.把它们标准正交化，就可得到ri个单位正交的特征向量组，由r1+r2+…，λn为A的n个特征值.根据定理5，实对称矩阵的对角化问题，实质上就是求正交矩阵Q，计算Q的步骤如下：求出n阶实对称矩阵A的全部互异特征值λ1，λ2，…+rm=n)；求实对称矩阵A的特征向量.对每个特征值λi(i=1,2，…

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线性代数：相似矩阵定义及举例

定义1设A,B为n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P，使得P1AP=B，则称矩阵A和B相似，也称B是A的相似矩阵，记作A～B.可逆矩阵P称为相似变换矩阵.例1设，，，不难验证P可逆，且.由于因此A～B.例2设，，问A是否相似于B？

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线性代数中的向量定义及性质

上一节我们学习了消元法解线性方程组，其本质就是对增广矩阵施行初等行变换.增广矩阵的每一行都表示一个方程，即可用一组有序数(ai1,ai2，…，an组成的有序数组(a1,a2，…，an)称为一个n维向量，其中ai称为向量的第i个分量，向量的维数即向量中分量的个数.通常用希腊字母α，β，γ，…，an)为向量α的负向量，记为α.

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线性代数矩阵转置技巧

，n.故A=O.推广：多个矩阵乘积的转置，如T=CTBTAT；若矩阵A满足AT=A，则A为对称矩阵；若矩阵A满足AT=A，则A为反对称矩阵.

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齐次线性方程组解的结构-线性代数

，ξt是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，则AX=0的任一解可表示为X=k1ξ1+k2ξ2+…，knr∈R}.例1求齐次线性方程组的一个基础解系，并用此基础解系表示它的全部解.解：因为r=2 ＜4，所以齐次线性方程组有无穷多解.取自由未知数为x2,x4，原方程组与方程组同解；对自由未知数分别取，，代入上式得到齐次线性方程组的一个基础解系为：，.则齐次线性方程组的全部解为：.

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