不用极限的微积分

学习微积分：作图像切线新概念初试

没有定义切线居然求出了切线，画出图来还准确无误，岂非怪事？曲线的切线本来是几何问题.能不能不涉及很难说清楚的极限概念，从直线与曲线的关系出发来定义切线？
理论教育 2023-11-03

不用极限：黎曼和莱布尼兹公式

上面定义了函数在区间上的积分系统和定积分，自然地把积分和甲乙函数的概念联系起来，使微分和积分获得了统一的数学模型，轻松导出微积分基本定理.历史上对微分和积分关系的认识，却经历了漫长的艰难过程，积分的原始思想来自安蒂丰（Antiphon，约公元前480－前410）提出的计算圆面积的穷竭法.之后，不少杰出的科学家曾使用类似的思想计算面积、体积、长度和其他的物理量.其中有中国的刘徽、祖冲之、祖暅，希腊的
理论教育 2023-11-03

选择函数范围的差商有界不用极限的微积分

在第2讲里引进了乙函数后，用两个例题来说明其应用.例题2－1表明，乙函数的正负可以用来判别其甲函数的增减；例题2－2表明，用乙函数可以计算甲函数的近似值.在第4讲，乙函数的作用进一步显现出来了.这些应用的根据，就是联系着函数F（x）和它的乙函数f（x）的估值不等式：在[u，v]上有p和q使有看来这个不等式是一大法宝.它的好处是用简单的一元函数来估计比较复杂的二元表达式.为了充分挖掘这个法宝的潜力，
理论教育 2023-11-03

多练微分等式计算，轻松掌握微积分！

牛顿采用的导数记号是在函数名上加个圆点.用一撇表示求导数运算，是拉格朗日首先采用的记法.这个记号很方便，但有不足之处.例如，如果计算′，就有了问题：是把u看成自变量，还是把v看成自变量呢？
理论教育 2023-11-03

四则运算求导公式简化战果

从第1讲开始，我们就知道了几个函数的导数计算公式，接下来我们知道，这几个函数的导数也都是乙函数，而且差商有界；更进一步知道，差商有界的乙函数都是强导数.利用乙函数和强导数的定义，我们用严谨清楚的不等式代替了直观但一时还说不清的极限概念，并且进一步求出了xn和sinx的导数（而且是强导数）.运用这些函数的导数，解决了一批原本看起来比较困难的问题：求曲线的切线、求函数的最值、估计某些函数的数值等.为了
理论教育 2023-11-03

探求速度的瞬时变化：导数引入大师

伽利略没能解决这个问题.他遭遇到了概念上的困难.要算速度，就要知道物体在一段时间走过的距离.只看一个时刻，时间和走过的距离都等于0，通常的速度概念失去了意义！如果h≠0，就只能得到平均速度而非瞬时速度；如果h＝0，以它为分母的分式就失去了意义！
理论教育 2023-11-03

面积定义简化自然对数

按定义，如果有一个实数e使得logax＝lnx，则lnx＝logex＝，立刻推出lne＝1.因此，自然对数就是以e为底的对数.这个实数e是多大呢？在（9－2）即中取v＝2和u＝1得到0.5＜ln2＜1，而ln4＝ln22＝2ln2＞1，可见应有e∈（2，4）.更精密的估计为e＝2.718281828459……习题9—3 求下列函数的导数x2lnx；习题9—4 求证：当0＜a＜x＜x＋h时有.
理论教育 2023-11-03

学微商：致用微商描述曲线模样

给了一个初等函数的表达式，我们已经知道如何计算其微商即导数.计算的步骤可以机械化地执行.对于比较复杂的表达式，可以用计算机来求导.求一个函数的导数的目的，是为了掌握函数的性质.例如：（i）估计函数在某些点处所取的值，如例题1－2、2－2、6－5等；（ii）作函数曲线的切线（其实就是确定函数在某些点附近的最简单的近似表达式），如例题3－1、3－2、3－3、8－3、12－2等；（iii）确定函数的增减
理论教育 2023-11-03

建立估值定理：殊途同归

通常把f（x＋h）－f叫做函数f在x处的差分，通常记作Δy或者Δf、Δf等；f′h叫做f在x处的微分，通常记作dy或者df、df等.（6－6）表明当h接近于0时，差分与微分之差比h更接近于0，对于强导数而言，此差不超过Mh2.在第3讲里提出了曲线切线的独立的定义，即定义3.为了说明函数的导数是其曲线的切线斜率，按该定义需要证明一个不等式d＞d.现在有了强可导的概念，可以把这个问题说清楚了！
理论教育 2023-11-03

甲乙函数证微积分基本定理-《不用极限的微积分》第十五讲

本书一开始就提到，如何计算任意曲线包围的面积，直到17世纪初还是数学家面前的难题.微积分的诞生使这个难题迎刃而解.一般说来，任意曲线包围的区域总能用直线分割成若干矩形和一些“曲边梯形”（图15－1），所以问题最后归结为曲边梯形面积的计算.在第2讲谈到“曲边梯形”面积和估值不等式的联系；在第9讲中，更利用曲边梯形面积与估值不等式引进了对数函数lnx.为了进行更严谨的讨论，必须说清楚什么是曲边梯形的面
理论教育 2023-11-03

微积分:复合函数的链式法则深入解析

上一讲里提到，根据乙函数和强导数的关系并应用命题2.3和2.4，可以得到公式′＝k·f′.这样的公式在计算诸如f＝n这样函数的导数时带来了方便.这是高中课程中要求会用的求导公式.如果进一步问，代入到函数f里面的不是简单的一次函数k·x＋C，而是一个更一般的函数g，该有什么样的求导公式呢？也就是说，知道了f和g的求导公式，如何计算复合函数f的导数呢？
理论教育 2023-11-03

不用极限的微积分：实数论连续理论的深刻阐述

从第2讲到第15讲，建立了微积分的基本概念和理论.在这14讲里，没有用到极限概念，没有用到实数理论，和传统的教程很不一样.一路走来，好像也比较严谨.认真想想，仔细想想，有没有漏洞？换句话，实数的基本性质戴德金公理有何用？
理论教育 2023-11-03

高效微积分：体积与能量应用多样

图17－5高和底面直径相等的圆柱和它的内切球图17－6从与圆柱直径相等的球上割下的与圆柱等高的球冠下面的例子，是定积分在物理中的应用.例题17－2 将质量为m的物体Q从地面垂直提升到高度H，为克服地心引力需要做的功是多少？特别地，如将此物体发射使脱离地球引力，需要的初始速度是多大？
理论教育 2023-11-03
-已经加载完成-