高等数学习题课讲义-精讲例题与分析

12.2.1基本习题讲解例12.1设f（x）在[a，+∞）上连续，f′′（x）在（a，+∞）内存在且大于0，记证明F（x）在（a，+∞）内单调增加.证明只需证明F′（x）＞0，x＞a，直接计算，得由Lagrange中值定理知，存在ξ∈（a，x），使得f（x）f（a）=（xa）f′（ξ）.又由f′′（x）＞0可知，f′（x）＞f′（ξ），所以证毕.例12.2求函数y=x+sinx的凸凹区域及

理论教育 2023-10-19

本课重点内容提示：高数习题课

1.导数、左右导数的定义.设函数f（x）在x0的某邻域内有定义，如果函数的变化率的极限因此，f′（x0）存在的充分必要条件是存在且相等.对导数的定义作如下的几点解释：（1）导数是函数的因变量改变量与自变量改变量的比值的极限（即函数变化率的极限）.因此，导数是求一种特殊的函数的极限.（2）左右导数反映某一点（一元函数）的左右两个不同方向的函数的变化率情况，如果均存在且相等，则函数在该点可导.反之，就

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《高等数学习题课讲义》重点内容提示

1.函数的性质（定义域、值域、奇偶性、增减性、单调性、周期性、反函数等内容）的复习和总结.除了高中所学习的初等函数外，再介绍几个初等函数和几个常用的非初等函数.（1）双曲函数（初等函数）（2）几个常用的非初等函数取整函数：其函数值为不超过x的最大整数.2.充分理解数列的极限的定义，即的分析定义：ε＞0，自然数N（依赖于ε），当n＞N时，均有|xna|＜ε.（1）ε为任意正数，是衡量xn与a的逼近程

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高数习题分析与例题精讲

2.2.1基本习题讲解例2.1证明：由数列单调有界必收敛，可得该数列收敛.例2.4证明：若数列{xn}无界，则{xn}必有一子数列{xkn}存在，使得证明由数列{xn}无界，即对于任何M＞0，均存在正整数m使得因数列{xn}无界，故存在某项xk1，满足|xk1|＞1.由于数列{xn}（n=k1+1，···）也无界，故存在某项xk2（k2＞k1），使得|xk2|＞2.···由于数列{xn}（

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高等数学习题课讲义本课重点内容提示

1.闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数必有界.闭区间上的连续函数存在最大值和最小值.闭区间上的连续函数必一致连续.介值定理（零点存在定理），可用来证明方程的解的存在性.零点存在定理：设f（x）在[a，b]上连续，且f（a）f（b）＜0，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得介值定理：设f（x）在[a，b]上连续，且M，m分别是f（x）在[a，b]上的最大值和最小值，则对于m≤c≤M，在[a，b

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高等数学题目精讲与分析

13.2.1基本习题讲解例13.1求双曲线的渐近线.解由于可以看出该函数没有垂直渐近线.下面求其斜渐近线.设斜渐近线为y=kx+c，则所以双曲线的渐近线方程为例13.2铁路AB段的距离为100km，工厂C距离A为20km，AC垂直于AB，今要在AB间一点D向工厂修一条公路，使从原料供应站B运货到工厂所用运费最省，问D应该建设在何处？

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课外练习高等数学习题课讲义可微函数

A组习题10.1已知f（x）为[0，1]区间上的可微函数，f（0）=f（1）=0，且对任意的x∈[0，1]，都有|f′（x）|＜1.试证习题10.2设函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（1）=0.试证存在ξ∈（0，1），使习题10.3设c＞0，函数在闭区间[ac，a+c]上可导，试证：至少存在一点ξ∈（0，1），使习题10.4设函数f（x）在闭区间[a，b]上连

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高数习题课例题分析，解析详细

如果连续可导，求出g′的值.解当x≠0时，利用对数求导法，易得因为二阶导数f′′在（1，1）内连续且不为0，故f′′在（1，1）内不变号.假设f′′＞0，从而f′在（1，1）内严格单增，所以上式中的θ是唯一的.由，可得注此题也可以对式的右端利用Maclaurin公式展开进行求极限.例11.10设函数f为区间[a，a+2]上的函数，且|f|≤1，|f′′|≤1，证明|f′|≤2，x∈[a，a+2].证明根据Taylor公式，

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高等数学习题课讲义：课外练习结果

说明理由.习题6.7若函数f在区间上分别为一致连续，证明：f在（a，c）上一致连续.习题6.8有限开区间（a，b）上的连续函数f在（a，b）上一致连续的充分必要条件是存在两个有限的单侧极限f（a+0）和f.

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高等数学习题课讲义：本课重点内容概要

1.微分是增量的线性主部.具体说，考虑y=f（x）于点x0由自变量增量x引起的因变量的增量y.若存在与自变量增量x无关的量A（x0），使得则A（x0）x为y的线性主部，并称y的线性主部A（x0）x为函数f（x）在x0点的微分，记为dy|x=x0或者df（x0），因此对于线性函数y=x确实有dx=x，因此，上式通常记为（1）微分的几何意义：y=f（x0+x）f（x0）是曲线在x0点相应于自变量增量x

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高数学习题课讲义课重要内容提示

1.定积分的极限定义.对于任意小的正数ε＞0，总存在一个正数δ，使得对于区间的任意分法只要各个小区间长度|xi|＜δ（xi=xixi1），不论ξi如何选取，都有成立.数I就是定积分.从该定义可以看出：（1）定积分是和的极限，但是该极限不同于前面的数列的极限或者函数的极限（其自变量简单的是n或者x），此处是对于区间I的任意剖分，不论ξi如何选取，当剖分的小区间长度趋于零时的极限，且极限值是不变的.（

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高等数学习题课讲义重点内容提示

1.L’Hospital法则.（1）求导法则和求导公式的基础是函数的变化率的极限，L’Hospital法则是利用导数这个工具，反作用于极限理论，尤其是求那些未定式函数的极限（型，型）.该法则证明的基础是中值定理.（2）在利用L’Hospital法则求函数的极限时，应当注意两点：（i）分子或者分母中如果出现某因式项的极限存在且不为零，一定要先求出该项的极限，使得分子或者分母的求导运算变得简单易行.下

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高数习题课讲义上：例题分析

6.2.1基本习题讲解例6.1证明：若函数f（x）在区间（a，b）内连续，又则必有ξ∈[x1，xn]，使得证明函数f（x）在区间（a，b）内连续，故函数f（x）在区间[x1，xn]内连续，f（x）在区间[x1，xn]上有最大值和最小值，则存在两数m，M，对于任意的x∈[x1，xn]，满足从而由介值定理，存在ξ∈[x1，xn]，使得例6.2试定义f（0）的值，使得在x=0点连续.解要使得f

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高等数学习题课-本课重点

1.费马（Fermat）定理.设f（x）在点x0可导，在x0的某邻域内有定义，且恒有f（x）≤f（x0）（或者f（x）≥f（x0））成立，则其几何意义是：如果曲线f（x）在x0有极大值（或者f（x0）在x0有极小值），只要在点（x0，f（x0））曲线有切线（垂直切线除外），其切线必为水平的.2.中值定理.Rolle定理设f（x）于闭区间[a，b]连续，在开区间（a，b）可导，且f（a）=f（b）

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高等数学习题课讲义：本课重点内容提示

1.复合函数的求导满足链式法则.若函数u=φ（x）在x点可导，函数y=f（u）在其对应点u（=φ（x））也可导，则复合函数y=f[φ（x）]在x点可导，且2.反函数的求导.若函数f（x）在点x的某邻域内连续，且严格单调，y=f（x）在x可导且f′（x）≠0，则它的反函数x=φ（y）在y可导，且（1）注意反函数求导的条件.实际上这里暗含了一个命题，也即在什么条件下反函数是存在的.（2）中y是自变量，

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高等数学习题课讲义：综合训练四定积分部分

习题1求下列函数的极限.习题2求下列函数的定积分.习题3设函数f（x）在[0，1]上连续，且f（x）为非负函数，证明存在x0∈（0，1），使习题6设连续，试确定常数a，b.习题7在曲线y=lnx上的点（t，lnt）（2＜t＜6）处作曲线的切线，求此切线与直线x=2，x=6以及曲线y=lnx所围平面图形的面积A（t），并求A（t）的最小值.习题8在xOy坐标平面中，连续曲线L过点M（1，

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