杨兆鋆对李善兰图法的继承与创新：清代圆锥曲线算法

杨兆鋆是李善兰任京师同文馆算学教习时的学生，数学才能深得其师的赏识。杨氏在其《须曼精庐算学》卷一“椭曲同诠”中讨论了4个求椭圆焦点的作图问题，李善兰的《椭圆拾遗》卷二均有讨论，但在具体的作法上杨氏有些创新。这些问题在李善兰作图时均有所论及讨论，杨氏只是给出了具体的作法，在此不作详细论述。杨氏对圆锥曲线焦点作图的研究，在一定程度上也反映出京师同文馆的数学教学成果。

理论教育 2023-11-18

椭圆极坐标方程的几何推算及其在清代的应用

通过第二章的论述可知，在椭圆轨道问题推算中，椭圆向径与实行角之间的关系很重要，这个关系实际上就是现在的椭圆的极坐标方程。李善兰的《椭圆拾遗》卷一第13—20 款，通过几何推算得到了相当于椭圆极坐标方程的关系。至此，李氏实际上运用综合几何的方法得到了椭圆的两个极坐标方程[式与式]，这两个关系是椭圆轨道问题的本质关系，也是之后《椭圆拾遗》卷三利用级数处理椭圆轨道问题的基础。

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椭圆基本定理推广：清代圆锥曲线研究成果

在这里，李善兰把椭圆看作大辅圆的投影，而小辅圆则是椭圆的投影。可以看出，若椭圆已知的一对共轭直径为长轴和短轴，则此命题即为椭圆基本定理，因此它实质上是推广的椭圆基本定理。利用这个定理，李善兰又推出了一些新的结果，主要是大小辅圆与椭圆面积的关系，以及以共轭直径为边的椭圆的外切平行四边与椭圆的面积关系。李善兰利用椭圆基本定理证明了这个原理。李善兰明确指出：“用十字槽作椭圆周即此款之理也。”

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清代圆锥曲线：容圆问题轨迹解法

晚清一些算学课艺中也出现了运用圆锥曲线解容圆问题的几何求作题，虽然很零散，但不乏精妙的解答。华氏常“拈原理课程学子”，课艺中容圆问题共有10 题22草，其中有很多解答是利用圆锥曲线定位容圆圆心，以丁酉年第9 题和第11 题为例说明如下。该题选用杨焱课草，他共给出8 种解题方法，前五法用的是位似作图，后三法利用圆锥曲线作图。这三法具体如下。龙城书院毕业生沈保枢的《容圆通义》收入该题并给出一法。

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清代圆锥曲线的数学课程:数学知识的建制成果

在癸卯学制中，无论是直系的普通教育，还是旁系的师范教育和实业教育，在各级各类学堂的章程中，对学堂教授的科目、程度、时间等都作出规定。表5-4-1癸卯学制中普通教育的数学课程我们知道，终清之世，格致科大学算学门一直未曾建立[128]，有其名而无其实。因此，从表5-4-1数学课程反映出的数学知识体系与前文论述的19世纪90年代形成的数学体系基本一致，但得到官方的制度保证，走向了制度化。

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圆锥曲线传入清代算术

本节参考前人的研究成果，对此阶段传入的圆锥曲线知识进行简要介绍和论述。圆锥曲线知识也是在这时首次被介绍到中国。在早期传入的圆锥曲线知识中，以椭圆知识为主，也只有椭圆知识得到中算家的重视，应用较多。圆锥曲线传入后中算家随之

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华蘅芳对《火器真诀》的不满：此算与彼算

李君秋纫以所著《火器真诀》见示，余觉未能满意。此式《火器真诀》中没有论及。看来，华氏不满意的地方应是《火器真诀》“以量代算”的行文方式不利于学习传播。可见，华氏将《火器真诀》的图解法改用四率比例算法重新解释，目的是再次降低抛射运动知识的门槛以便“略知文字”的兵弁们更好地接受。

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董祐诚清代椭圆周长计算方法

董氏依据朱鸿斜截圆柱得到椭圆的说法，试图用勾股定理求出椭周长。图3-2-1设a，b 分别为椭圆的长半轴和短半轴，由勾股定理，董氏的椭圆周长p 为董氏在释术中解释道：圆弧得成勾股者，《九章》勾股“葛生缠木”术之意。

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清代圆锥曲线：容圆圆心轨迹及应用

除传统的解法外，出现了位似法、反演法等尺规作图法以及利用圆心轨迹为圆锥曲线这一性质，求作曲线交点来定圆心的方法。在这里我们关注的是晚清运用圆锥曲线解容圆问题的做法，认为这是当时数学家对容圆圆心轨迹的理论探讨。以前关于黄宗宪、周达的研究[16]，都将他们对容圆圆心轨迹的研究置于个人的数学成果论述之中，致使这部分研究或关注不够，或被其他工作遮盖，意义不彰。

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清代焦循《释椭》：圆锥曲线历算小结

所著书多达数百卷，身后被称之为“通儒”。江藩在给《释椭》作序时称：嘉庆三年秋，里堂出所制《释椭》一篇示予。[34]《释椭》全文实际上是从数学角度解释《历象考成后编》中椭圆模型所涉及的数学知识，属于“历算”范围。焦氏认为这个性质很重要，是沟通椭圆和辅圆关系的“枢纽”，称“大小径者，比例之根也”；“大小径比例之法，至精至妙”。

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清代椭圆知识：《历象考成后编》分析

《后编》中给出了椭圆的两种作法。这个作法中，F1Rk+F2Rk=2a，相当于还是运用了椭圆的第一定义，可以证明，直线HkPk 其实是椭圆过Pk 点的切线，故《后编》称“以此发明椭圆之理，最为精巧”。

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清代《平圆互容新义》与圆锥曲线的妙用之研究成果

周达对容圆问题有独到的研究，其《平圆互容新义》是讨论容圆圆心轨迹的专著，首次连载于《亚泉杂志》第4、5、6 册上。周达的《平圆互容新义》就是发表在第4—6 册上，明显是要给予容圆问题一个统一性的理论性的解答，他撰写这部著作的动机可能来源于第1 册的提问。他研究的出发点是曲线平分“夹角”。《亚泉杂志》称周氏成果为“精心妙义”。

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清代儒学正统中重现历算与圆锥曲线

戴震另一项影响很大的工作是，他以《四库全书》馆臣的身份从《永乐大典》中辑出了多部算经。在他看来，历算应该是儒者研究的重要内容，应该重新纳入儒学正统的框架之内。[21]被梁启超称为汉学派两大护法之一的阮元认为，历算之学“足以纲纪群伦，经纬天地，乃儒流实事求是之学，非方技苟且干禄之具”[22]。他认为精通天文历算之学，是恢复实学的一个标志，是承继汉魏三国时期儒林传统的一条有效的回归之路。

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圆锥曲线在清代军火制造中的应用

卢氏在《火器真诀释例》[66]序称：“少时读兵家言，惜其于枪炮未有中准之法……近来研求算学，略能解之。得李氏《火器真诀》，益涣然冰释”。可见，卢氏是通过《火器真诀》才真正掌握抛射运动知识的。彭祖贤在序《火器真诀释例》时称赞说：卢氏此书，乃备详八线之目，四率之用，又设为算例以明之。谓此册为军务急需。可以说，卢氏一生事业起步于《火器真诀释例》被当局所赏识。

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清代圆锥曲线的几何解释

《致曲图解》全书的思想就是想从几何的角度对圆锥曲线进行统一的描绘，规线显然是的几何解释，而整个第四节可以看成是对式进行的几何解读。相应的，第9 节“论诸曲线式之斜规线”则是第4 节“正规线”的拓广，实际上就是斜坐标系中二次曲线统一方程的几何解释，在此不再赘述。

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圆锥曲线在清代出版的此书与彼书的应用

圆锥曲线知识系统地传入是伴随着西方变量数学传入中国而完成的。李善兰还与同在墨海书馆的艾约瑟共同翻译了《圆锥曲线说》三卷，附于金陵刊本《重学》之后，于1866年出版。这些书籍使得微积分、符号代数学、解析几何、圆锥曲线，以及近代力学和天文学传入中国。其中，《代微积拾级》和《圆锥曲线说》介绍的解析几何和圆锥曲线知识比较完备，标志这些知识系统地传入中国。第七卷论述双曲线。

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