一维固定端点问题的欧拉方程的解法

本节讨论由泛函极值条件推得的微分方程，即欧拉方程。欧拉方程是一个微分方程，求解这个微分方程，可得无穷多条极值曲线，再把边界条件代入，即可得到唯一极值曲线方程。由F=F，可得式中全导数的展开式为最后欧拉方程的形式为下面讨论两种特殊情况。C1和C2确定后代入上式，经整理，得由此可见，连接两点的曲线长度最短的曲线是一条直线段。从而由，得y″-6x=0应用欧拉方程，会得到完全相同的结果。

理论教育 2023-10-26

交错网格技术：土建类书名调整

以二维问题为例，图4.9.3中结点周围的控制容积为计算压力p的主控制容积，水平方向与主控制容积错位半个网格的控制容积为计算x方向速度u的控制容积，垂直方向与主控制容积错位半个网格的控制容积为计算y方向速度v的控制容积。采用交错网格后，关于u，v的离散方程是通过对u与v各自的控制容积积分得到的。图4.9.3所示的网格错位只是一种形式，可称为向后错位。

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一阶波动方程差分格式：土建类数值解法

一阶波动方程典型的差分格式，除了Lax格式以外，还有偏心格式和LaxWendroff格式等，以下作简要介绍。综合上述分析，差分格式和式是否稳定与微分方程式的系数α的符号有关。故差分格式和式分别称为“右偏心”格式和“左偏心”格式。

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有限差分法的相容性：偏微分方程数值解法

在式中，时间项和二阶空间导数项均用中心差分近似，有在式中，以Tni+1+Tni-1替换2Tni，则有差分方程式是另外一种差分格式，这里引入这种格式的目的仅在于考查其与原偏微分方程的相容性。若选用显式差分格式，其截断误差为当τ→0，l→0时，截断误差趋近于0，因此，在这种情况下，差分方程式与微分方程式相容。相容性概念是差分方法中最基本的概念，一般说来，要用差分格式求解偏微分方程问题，相容性条件必须满足。

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基函数的选取与光滑连续导数

在应用加权余量法时，最重要的一步是选取基函数φj。，N）容易求得；3）基函数φj具有足够的灵活性；4）近似解能达到可接受的精度；5）近似解便于应用。基函数在求解区域内应是连续的，且足够光滑，即具有足够阶数的连续导数。

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单元插值函数-偏微分方程数值解法

协调条件也称为相容条件，即要求相邻单元的近似函数或其导数在单元交接边界上是连续的。，r） 式中，Ni是单元中结点i所对应的插值函数；xj为j结点的坐标；r为单元结点数。应用埃尔米特插值多项式，作为单元的基函数，对应结点i的基函数为H0i，H1i，…

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泰勒伽辽金有限元解法-多维对流扩散方程

方程式等式两端的四项依次是非稳定项、对流项、扩散项和源项，显然对流扩散方程是非线性偏微分方程。式即为多维对流扩散方程的泰勒伽辽金有限元列式。为了回答泰勒伽辽金有限元法如何实现迎风格式的问题，只需将标准对流扩散方程的常规伽辽金有限元离散格式与泰勒伽辽金有限元离散格式进行对比。此外，通过对式进行稳定性分析，还可以看到，该泰勒伽辽金有限元格式保留了三阶离散精度。

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单元形状及应用：土建类

单元的几何形状，可以人为选取，一般是规则的，但形状与尺寸大小可以不同。对于有3个及3个以上的结点，其中有2个是和相邻单元相交接的外结点，其他均为内结点，如图3.3.1所示。图3.3.1 一维单元图3.3.2 二维单元其中，三结点的三角形单元最简单，应用最普遍，它是二维基本单元，容易对任意形状的二维域进行剖分。

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一维对流扩散问题的有限体积法

无源一维稳态对流扩散问题的场变量满足式中，ρ为流体密度；u为在x方向的流动速度。表4.5.3 解析解与有限体积法数值解对比数值计算结果接近精确解，尽管计算网格比较粗糙，但仍得到合理结果。表4.5.6 离散方程系数数值解与分析解的计算结果示于图4.5.4中，从图中可看出两者吻合得良好。

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一维抛物型方程差分格式：数值解法

前面已经讨论过一维抛物型方程的几种差分格式。必须指出，建立这一差分格式的一个很重要的思想是将微分方程中的项，用u（x，t）在第n层和第n+1层上关于x的二阶中心差商的算术平均值来逼近，这一思想已被广泛地应用于建立差分格式。与隐式格式一样，这种格式也是无条件稳定的。

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非矩形计算域上的偏微分方程数值解法

对于圆域、圆环域和扇形域内的边值问题，引进坐标变量ξ代替原有坐标变量ρ，令ξ=lnρ，于是式中的一阶微商与二阶微商可以表示为式成为对于无内热源问题，有这样，对环形区域经过坐标变换可变成矩形区域，进而就可用矩形网格建立差分方程。图1.6.4 环形区域变换为矩形区域采用保角变换方法处理圆域、圆环域和扇形域内的边值问题时，在实际计算中要作变步长的运算，较为繁琐。将以上差商式代入式，有此即圆环域内结点的差分方程。

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土建类非均匀网格上的差分格式

前面所讨论的差分格式是基于均匀网格基础上的，以下针对一般的二阶椭圆型微分方程，考虑如何建立它在非均匀网格上的差分格式。图1.6.2 非均匀网格设有非均匀网格如图1.6.2所示。采用待定系数法构造非均匀网格的差分格式。也可利用非均匀网格下的一阶和二阶差商来逼近导数。在图1.6.1中，采用下面的差商根据网格点所在的位置，选取上述不同的表达式代入微分方程，即得到在非均匀网格下的差分方程。

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偏微分方程数值解法在土建类中的出口边界条件处理

后续计算若用到边界点的uNI，可按照梯度变化为零的条件外插获得。图4.13.6 出口边界u控制容积图4.13.7 出口边界v控制容积值得注意的是，出口流动方向u的计算若按梯度为零的条件有uNI，j=uNI-1，j。图4.13.8 出口边界p′控制容积图4.13.9 出口边界主控制容积

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确定土建类偏微分方程数值解法单元基函数

式共有9个代数方程，可唯一确定ai，bi，ci，，共9个系数。全区域的基函数，可由各个基函数叠加组成。不难看出，对于区域内结点所对应的基函数是一个由若干三角形斜面所组成的尖顶形多面体的侧表面，如图3.9.3所示。

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确定单元基函数-偏微分方程数值解法

任取e单元作为讨论基函数选取的典型单元。全域的基函数可看做所有单元基函数的总和，每个结点相应有一个基函数。在本例题中，将式进行叠加求和，即可获得总体基函数。相应结点序号为n的总体基函数可表示为上述表达式适用于n=2，3，4的内部结点所对应的基函数。图3.8.2 一维线性基函数

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土建类偏微分方程数值解法：边界条件与定解问题

通常把微分方称为泛定方程，而把能完全确定物理现象规律的附加条件，称为定解条件。定解条件一般包括初始条件和边界条件，分别表明物理现象的初始状态和在边界上的约束情况。由泛定方程与定解条件所构成的数学问题，称为定解问题。

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