外模型与玩具模型在哲学数理逻辑中的作用

然而，哥德尔并没有就此倾向于认为连续统假设成立。既然内模型不行，一个很自然的想法便是诉诸“外模型”。人们常称这些集合论的集合模型，尤其是可数模型为玩具模型。谈论往玩具模型中添加新的集合使得由此得到的扩张了的模型满足ZFC和CH，就显得很自然了。斯寇伦悖论根据勒文海姆-斯寇伦定理，如果存在ZFC模型，那么就存在可数的ZFC模型。定义3.14（绝对性）我们称一个集合论公式对一个集合论模型

理论教育 2023-10-22

作为哲学的数理逻辑:自然化的分析哲学成果

20世纪中叶以来，分析哲学的另一个重要变化是自然主义的兴起。蒯因的《经验主义的两个教条》从某种意义上吹响了分析哲学自然主义转向的号角。在完成对逻辑经验主义的批评后，蒯因提出了自然主义和整体主义的纲领作为替代。然后指出该定义中的“意义”需要进一步界定。支持分析与综合严格区分的哲学家们显然不能接受，两个词项的同义仅仅是依靠存在一些语言的使用实例来支持的。

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数理逻辑与日常语言的对比

晚期维特根斯坦被认为是日常语言哲学的主要思想来源。主张改造日常语言的学者认为日常语言的模糊性会导致矛盾。日常语言哲学的信奉者不仅认为日常语言是恰当的，足以胜任哲学的研究，同时也认为在哲学中使用理想语言或形式语言是不恰当的。这与日常语言哲学的基本原则是相冲突的。日常语言哲学牛津学派的代表奥斯丁的主要工作是通过观察语言的使用指出其中非常细微的差别。

理论教育 2023-10-22

作为哲学的数理逻辑：第三章相对一致性

同样在经典逻辑下，从一则矛盾律特例可以证明任何命题，所以不一致的理论是没有意义的。所以，本质上一致性结果或独立性结果都是某种关于不可证的结果。一致性与数学哲学主要问题休戚相关。因此，希尔伯特将一致性证明作为其数学基础研究纲领最后完成的标志性成果。独立性虽然在数学上就等价于一对一致性结果，但却是相对而言人们不太乐见的。

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《罗素论指称：作为哲学的数理逻辑》罗素《论指称》的数理逻辑

罗素的《论指称》被认为是“哲学的典范”。关于这些困境，罗素首先讨论了弗雷格可能给出的解决方案：指称短语不仅有所指也有意义。罗素的解决方案是：宣称“指称短语本质上是句子的一部分，其本身没有任何意思”，并“给出了将所有出现指称短语的命题归约为不含这种短语的命题的方法”。罗素是公认的分析哲学先驱。罗素在《论指称》中所使用的工具也未超出弗雷格发明的概念文字或今天所说的谓词逻辑。

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图灵度结构研究计划及简单事实

开启了对图灵度结构的研究计划，他们指出了关于结构的一些简单事实。在第2e+1步，σ2e和τ2e已被构造，我们试图扩张它们以满足Re2e。如果成立，那么令σ2e+1=满足（2.2）的“最小”的ρ，而令τ2e+1=，也即把n放入τ2e+1的定义域并赋以与不同的值。类似地，无论σ2e+1和τ2e+1之后如何扩张，都有所以，无论（2.2）成立与否，σ2e+1和τ2e+1的构造保证了成立。注意，σ2e+1和τ2e+1的构造中唯一非能行的部分是对（2.2）的判断，而（2.2）是一则公式

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无穷博弈与决定性公理-《作为哲学的数理逻辑》中的重点

哥德尔和索罗维的结果显示，投影集是否具有正则性质是独立于ZFC的问题。盖尔和斯图尔特在开始考虑完全信息的无穷博弈概念。数学家很快发现，盖尔-斯图尔特博弈与实数集的正则性质有关。基于上述定理以及对其他相关结果的观察，梅切尔斯基和施泰因豪斯在提出了决定性公理，以期解决实数集的正则性质问题。我们称一个盖尔-斯图尔特博弈Gω是被决定的，当且仅当要么玩家I要么玩家II有一个赢策略。进一步，每个开集也是被决定的。

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递归可枚举集在《作为哲学的数理逻辑》中讨论

而递归可枚举集K0，K则不是递归的。而将正式的递归可枚举集概念定义为一个递归函数值域。显然，递归可枚举集是直观上可以机械地生成的。我们知道，的集合都是原始递归的，而递归可枚举集都是集。容易证明，停机问题是所有递归可枚举集中“最复杂的”。任何递归可枚举集都可以图灵归约为停机问题。为了在递归可枚举集中寻找不同的计算复杂度，波斯特的策略是刻画尽可能严格的归约概念，由此带来更加精细的复杂度划分。

理论教育 2023-10-22

探索数理逻辑：想象力与语言

在3.1节和3.2节中，我们分别介绍了基于冯·诺伊曼层谱WF和基于可构成集类L的相对一致性证明。尽管如此，我们可以定义这些谈论想象的语言甚至它们的语义。引理3.23令M是ZFC的可数传递的模型，P∈M是一个偏序。类似，如果可以找到一个原始递归的函数g，使得那么，便是中可证的了。给出具体的自然数，说明这些自然数编码的公式在ZFC中定义了偏序P=Fn，以及由P决定的力迫语言FLP和力迫关系；（

理论教育 2023-10-22

数理逻辑：深入探索二阶算术与大基数

图4.1Mf的二进制展开因此，HF的理论就是集合论学家的一阶算术理论。这让怀疑论者断言根本不存在所谓唯一真实的二阶算术结构。例如，令ZFCN为所有ZFC可证的一阶算术命题组成的理论。但是，一个值得注意的现象是，工作中的数学家们实际会用到的数学公理系统，从严格有穷主义算术、皮亚诺算术、二阶算术、类型论、集合论到大基数等，在证明论强度意义上几乎排列成了一个良序，即哥德尔层谱。

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可计算集合的特殊性及不可计算集合的复杂度讨论

然而，进一步的考察不难发现可计算的集合是一类非常特殊的集合。且不论自然数集有连续统那么多个，而可计算的集合限于程序的基数只有可数多个。例如，图灵在中用对角线法证明所有生成可计算函数的程序组成的集合是不可计算的。图2.1对角线法类似地，假设是一个可计算的集合，那么，我们就可以设计一个程序Φ：对任意输入e，调用程序判断是否e∈C。类似地，在讨论不可计算集合的复杂度时也需要使用各种归约概念对集合分类。

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刘易斯对严格蕴涵的刻画：哲学数理逻辑成果

与此相对，他提出了一种称作“严格蕴涵”的概念。他给出了一个严格蕴涵逻辑的公理系统，其中既有表示实质蕴涵的符号，也有表示严格蕴涵的符号。后者接近刘易斯心目中对“蕴涵”概念“恰当的”的解释。刘易斯是这样为严格蕴涵概念辩护的。容易看出，刘易斯为严格蕴涵所做的辩护与弗雷格和罗素的工作有着类似的形式。

理论教育 2023-10-22

随机性及其在进化论、物理学和密码学中的应用

随机性概念无疑是达尔文进化论的核心概念。在物理学中，随机性概念的数学性质是连接微观与宏观规律不可或缺的线索，被用于热动力学和流体动力学研究。一些计算机和物理学家相信，基于量子不确定性现象设计的随机数生成器可以生成真正的随机。他们试图将量子随机数生成器用于制作安全可靠的密码。由伪随机数生成器生成的密码理论上可以被了解其原理和参数的人预测。

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随机性与可计算性在哲学数理逻辑中

可计算性与相对可计算性是经典递归论的研究对象，关于随机性的研究则兴起得较晚却成长迅速。从历史上看，可计算性理论是随机性理论的前提，但对随机性概念的研究也反过来加深了人们对可计算性的理解。回顾上一节中对随机性的刻画，随机性基本被呈现为可计算性的反面。在信息科学中，人们的确可以根据随机序列不可压缩性的特点宣称其中包含很多信息。利用随机性概念，人们还可以定义更多的低效性。

理论教育 2023-10-22

相对一致性结果的意义及有穷主义方法-《作为哲学的数理逻辑》

而根据完备性，如果Σ一致，它的语义模型总能找到。因此，通过寻找语义模型来证明一致性或独立性是有效、可靠且符合直观的方法。也就是说，无法排除PA一致而ZF不一致的可能性。的传递性和有穷主义算术假设T1，T2，T3都是至少包含有穷主义数学的理论，且有T3Con以及T2Con。

理论教育 2023-10-22

弗雷格《概念文字》与《算术基础》：作为哲学数理逻辑的成果

弗雷格对现代逻辑的主要贡献是指他在其早期的小册子《概念文字》中所勾勒并最终在其两卷本《算术基本法则》成型的形式化的谓词逻辑。弗雷格在对比《概念文字》与布尔的工作时坦言：“我的意图并不是用公式表示一个抽象的逻辑，而是通过书写符号以语词无法达到的精确性来表达内容。”当代分析哲学家在回顾其历史时一般认为，弗雷格为了将数学奠基于逻辑之上而创造了概念文字，而弗雷格所发明的工具恰巧为分析哲学的诞生创造了条件。

理论教育 2023-10-22