高等数学

高等数学：定积分的微元法及应用

用定积分表示一个量，如几何量、物理量或其他的量，一般分四步来考虑，我们来回顾一下解决曲边梯形的面积的过程.第一步分割：将区间[a，b]任意分为n个子区间[xi-1，xi](i=1，2，3，…
理论教育 2023-11-19

高等数学-导数的实际意义：导数的几何意义及图解

1.导数的几何意义图2-2从曲线的切线斜率的讨论及导数的定义可以知道，曲线y=f(x)在点M(x0，y0)处的切线斜率是函数y=f(x)在x0处的导数，这就是导数的几何意义，即其中，α是切线MT的倾斜角(如图2-2).如果y=f(x)在点x0处的导数为无穷，这时曲线y=f(x)的割线以垂直x轴的直线x=x0为极限，即曲线y=f(x)在点M(x0，y0)处有垂直于x轴的切线x=x0(可参考例5).根
理论教育 2023-11-19

高等数学《一、罗尔定理》：几何意义与证明

罗尔定理 设函数f(x)满足下列条件：(1)在闭区间[a，b]上连续，(2)在开区间(a，b)内可导，(3)f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)=0(a＜ξ＜b).图3-1罗尔定理的几何意义是：如图3-1所示，若连续曲线y=f(x)在端点A，B处的纵坐标相等，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，则曲线上至少存在一点C，使得在该点处的切线平行于x轴(或弦AB).证明 由于
理论教育 2023-11-19

高数教材中的函数项级数概念及性质

，(8-3)称为定义在区间I上的(函数列)无穷级数，简称函数项级数，记为，对于每一个确定的值x0∈I，函数项级数(8-3)成为常数项级数u1+u2+….对于收敛域内的任意一个x，函数项级数的和是x的函数S，通常称S为函数项级数的和函数.和函数的定义域就是函数项级数的收敛域，在收敛域内有S=u1+u2+…，函数项级数(8-3)的前n项的部分和记为Sn=u1+u2+…
理论教育 2023-11-19

无穷小的比较及其极限的性质

无穷小虽然都是以零为极限的函数，但不同的无穷小趋向于零的“速度”却不一定相同，有时可能差别很大.例如，当x→0时，x，2x，x2都是无穷小，但它们趋向于零的速度却不一样，见表1-3.表1-3显然，x2比x与2x趋向于零的速度快得多.然而，快慢是相对的，是相互比较而言的.下面考察两个无穷小之比的极限的各种不同情况，以此作为判断的依据，特引进如下定义.定理1表明，当α(x)～β(x)时，由β(x)代替
理论教育 2023-11-19

高等数学：旋转体的体积求解

1.旋转体体积一平面图形绕这平面内的一条直线旋转所成的立体称为旋转体，该直线称为旋转轴.常见的旋转体有圆柱体、圆锥体、圆台体和球体等.怎样求旋转体的体积呢?
理论教育 2023-11-19

高等数学：一、二阶线性微分方程解的结构

定义1 经过适当的运算可化成形如y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)(6-9)的二阶微分方程，称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程.其特点是y″，y′，y的最高次数均为一次，p(x)，q(x)，f(x)都是已知的自变量的连续函数.其中f(x)称为自由项，当f(x)=0时，称为二阶线性齐次方程；当f(x)≠0时，称为二阶线性非齐次方程，这时，它所对应的二阶线性齐次方程是令f(x)=0.例如，二
理论教育 2023-11-19

《高等数学》练习题参考答案

第一章习题1-1习题1-2(1)0；(2)2；(3)1；(4)没有极限.习题1-3习题1-41.(1)无穷小； (2)无穷小； (3)无穷小；(4)当x→0+时，为无穷大，当x→0-时，为无穷小.2.当x→1时为无穷大，当x→-1时为无穷小.3.不是.习题1-5习题1-6习题1-7习题1-81.略.2.(1)x=1是第一类可去间断点，x=2是第二类间断点；(2)x=0是第一类可去间断点，x=kπ(
理论教育 2023-11-19

曲线OC选择合理的方式及曲率和曲率半径的计算

并求该点处的曲率和曲率半径.5.如图3-34，城市轻轨列车从A处直行到O处后，须经曲线OC与曲线CB连接.试问：采用以下哪种曲线作为曲线OC更合理?请说明理由.y=ax2；x2+(y-b)2=R2；y=cx3.
理论教育 2023-11-19

MATLAB数学实验：求导结果详解

MATLAB中用于求导数的命令如下：例1 求y=sin3的导数.解 输入程序为：symsx；diffans=6*sin^2*cos*x例2 求ex+y=x-y的导数.解 输入程序为：symsxy；diff运行结果为：ans=exp^**log=1-diff例3 求y=x2ln3(x+1)的二阶导数.解 输入程序为：symsxy；y2=diff运行结果为：y2=2*log(x+1)^3+12*x*log(x+1)^2/(x+1)+6*x^2*log(x+1)/(x+1)^2-3*x^2*log(x+1)^2/(x+1)^2解 输入程序为：symst；y=t*，x=t*cos；y1=diff(y，t)/diff(x，t)运行结果为：y1=/例5 求=arctan-x在x=0处的导数.解 输入程序为：symsx；y=atan-x；y1=diff；subs运行结果ans=0
理论教育 2023-11-19

高等数学-导数的定义与实际应用

上述两个例子，一个是几何问题，一个是物理问题，它们的实际意义不同，但从数量关系来分析，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量增量比的极限问题.这类问题在科学技术中经常遇到，也正是这类问题的研究促进了导数概念的诞生.定义2 设函数y=f(x)在x0的一个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx(x0+Δx仍在该邻域内)时，相应的函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).若y=f(x)当Δx→0
理论教育 2023-11-19

初等函数：基本初等函数和复合函数

1.基本初等函数在中学已经学过幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，这些函数统称为基本初等函数.2.复合函数在实际问题中，经常遇到两个变量之间的联系不是直接的，即因变量不直接依赖于自变量，而是通过另一个变量联系起来.例如，有质量为m的物体，以初速度v0竖直上抛，由物理学知其动能E是速度v的函数：而在不计空气阻力时v=v0-gt，g是重力加速度，因此E通过v成为t的函数：它是由函数E=m
理论教育 2023-11-19

高等数学：函数的弹性与弹性分析

3.已知某产品的需求函数为Q=20-，求当P=5时的边际需求值.4.设某产品的总成本函数和总收益函数分别为C=3+2，R=，其中x为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收益和边际利润.5.求函数y=3+2x在x=3处的弹性.需求价格弹性函数；当P=3时需求价格弹性，并说明其经济意义.
理论教育 2023-11-19

高等数学：函数概念定义与性质

1.函数概念定义1 设D是非空实数集，如果对于D中的每一个x，按照某个对应法则f，都有确定的y与之对应，则称y是定义在D上的x的函数，记作y=f(x).D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量.如果x0是函数y=f(x)的定义域中的一个值，则称函数y=f(x)在点x0有定义.函数在点x0的对应值称为函数在该点的函数值，记作f(x0)或.当自变量x在定义域内取每一个数值时，对应的函数值的全体称
理论教育 2023-11-19

高等数学：拉普拉斯反变换求解方法

用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数.由象函数求原函数的方法有：利用公式对简单形式的F可以查拉氏变换表得原函数.部分分式展开法.下面主要介绍部分分式展开法.设象函数的一般形式为即F为真分式.下面讨论分母F2=0对应根的情形.①不同单根的情形若F2=0对应n个不同的单根p1，p2，…，pn(或写成s1，s2，…
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