随机分析引论-二次变差过程

在上一节中,我们完美地定义了关于Brown运动的随机积分,但这还远远不够,因为一旦涉及具体的运算,必定会涉及更一般的积分形式,所以我们需要把相对于连续平方可积鞅的随机积分说清楚,其中的关键是二次变差,为此,必须首先证明连续平方可积鞅一定有二次变差,如同Brown运动一样.在本节中,固定一个带有流的概率空间(Ω,F,Ft,P).所有的鞅,停时及适应性都是相对于(Ft)而言的.我们将讨论鞅的二次变差过

理论教育 2023-11-05

随机分析引论:Brown运动的积分理论与应用

随机分析主要是指关于Brown运动的积分理论,是由日本数学家K.It建立起来的,它之所以特别,是因为它不能用通常的积分理论来解释.在数学家的世界里,随机分析理论其实是很直观清晰的,它在金融中也有重要而本质的应用,但是要说清楚或者理解这套理论,所需要的语言是有点烦琐的测度论,可以这么说,没有这个语言,是无法讲清楚随机分析的.19世纪末,由于Riemann,Lebesgue等学者的工作,分析中最重要的

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习题与解答：连续局部鞅的高斯过程证明及其他相关问题

3.设X=(Xt)是连续局部鞅且其二次变差过程是确定性的,X0=0,证明:X是Gauss过程.4.设X,Y是连续半鞅,求乘积XY的协变差过程.6.设X是连续半鞅,证明:|X|也是连续半鞅,且〈|X|〉=〈X〉.由此如果B是Brown运动,那么(a)|B|是连续半鞅且它的鞅部分是个Brown运动;(b)记|B|的连续增过程部分为L,L只在{t:Bt=0}上增加,被称为B在零点的局部时,是由Levy发

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随机分析引论：常微分方程与随机微分方程的关系

常微分方程是描述确定性运动的方程,随机微分方程通常看成为是一个常微分方程加上一个由Brown运动驱动的随机扰动.例如是一个描述利息的常微分方程,得到的是确定性的解.而最简单的随机微分方程Black-Scholes方程表示增长率是一个常数加上一个随机扰动.随机微分方程也是由首先引入的.我们将简单地介绍下列形式的随机微分方程其中B是一个r-维标准Brown运动,X是未知的连续d-维过程.随机微分方程是

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连续半鞅的随机分析方法

最后我们将把随机积分理论扩展至最有用的半鞅类.一个适应连续随机过程X=(Xt)t≥0是个连续半鞅,如果X具有分解其中(Mt)t≥0是连续局部鞅,(Vt)t≥0是初值零的连续适应有界变差过程.由定理4.3.1,这个分解是唯一的,称为X的半鞅分解.半鞅的空间是线性空间,我们在后面可以看到,半鞅对乘积封闭(分部积分公式),也对二次可微函数的复合封闭(It公式).如果g是[0,+∞)上的连续函数,在任何有

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连续局部鞅是Brown运动的时间变换

公式的第三个应用是说明一个连续局部鞅经过某个时间变换后是Brown运动,或者说连续局部鞅和Brown运动相差一个时间变换.定理5.2.3(Dambis,Dubins-Schwarz)设概率空间(Ω,F,Ft,P)上初值零的随机过程是满足〈M〉∞=∞的连续局部鞅,令那么对任何t≥0,τt是停时,Bt=Mτt是个(Fτt)-Brown运动,且Mt=B〈M〉t.证明.递增的停时族(τt)t≥0被称为时

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随机分析引论：时间齐次随机微分方程的鞅和弱解

考虑时间齐次的随机微分方程按照(6.5.1)式,我们得到对任何f,定义因此我们证明了下面命题.在概率测度P下是鞅,其中L由(6.5.2)定义.的强解且在P下是一个鞅.另一方面,Levy的鞅刻画定理证明了其性质:定义6.5.1设L是C∞(Rn)上线性算子,(Xt)t≥0是(Ω,F,Ft,P)上连续随机过程,那么我们说(Xt)t≥0与概率测度P一起是L-鞅问题的解,如果对任何f∈C∞b(Rn)在概率

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《随机分析引论》：随机指数

在本节中,我们考虑简单的随机微分方程其中Xt=Mt+At是连续半鞅.方程(5.2.1)的解被称为X的随机指数.方程(5.2.1)应该理解为积分方程其中积分是在积分的意义下.为了找到方程(5.2.2)的解,我们可以试其中(Vt)t≥0待定为一个有界变差的“修正”项.应用公式,我们有为了满足方程(5.2.2)我们必须让引理5.2.1设(Xt)是具有半鞅分解Xt=Mt+At的连续半鞅且X0=0,那么是

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Brown运动-随机分析引论

设B=(Bt)t≥0是完备概率空间上关于流(Ft)的d-维标准Brown运动,其自然流加入所有零概率集后的流记为(Ft).下面是Brown运动的分形性质.引理3.4.1对任何实数λ／=0,是Rd上标准Brown运动.此结论可由Brown运动的定义直接推出.特别地,(-Bt)t≥0也是标准Brown运动.下面是Brown运动的旋转不变性.引理3.4.2若U是d×d正交矩阵,那么UB=(UBt)t

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随机分析引论：定义It积分、收敛性及众所周知的分析结果

它表示Brown运动B=(Bt)t≥0直至时间t的历史.加入所有零概率集之后记为(Ft).我们的主要目的是定义下列形式的It积分其中被积过程F=(Ft)t≥0是满足某些条件(后面详解)的一个随机过程.例如,我们可以对Borel可测函数f定义积分考虑[0,1]上的两个函数f,g,D是[0,1]上一个分划,定义一个众所周知的分析结果说,如果对任何连续函数f,当D趋于零时,S(f,D)收敛,那么函数g在

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连续时间鞅的性质及推广

在本节中,我们为随机分析做点准备工作,首先将证明对于一个右连续下鞅,我们可以假设流满足通常条件,因此开集与闭集的首中时是停时,继而证明Doob的有界停止定理成立,从而鞅的停止过程仍然是鞅,最后把Doob的两个下鞅和鞅不等式推广到连续时间场合.这是说只要有右连续假设,离散时间鞅的结论都可以推广到连续时间鞅上,读者或许会注意到负时间下鞅收敛定理在这里扮演更重要的角色.设T=[0,∞),(Ω,F,P)是

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离散时间鞅的定义及应用-《随机分析引论》摘要

在本节中,我们将着重介绍鞅的定义及一些常用的例子.简单地说,鞅就是公平原则.在生活中有许多无法预见结果的事件,如比赛,掷骰子,下一个看见的汽车是单号还是双号等.人们可以在任何这样的事件上进行下注赌博,只要进行赌博的各方认为规则是公正的.公正的基本思想是:风险与可能的获利成正比.比如买彩票,中奖的概率极微,但一旦中奖,奖额极大,人们在这里买的是运气,而不是概率.又如将钱存入银行,当然一般不会血本无归

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随机分析引论：连续局部鞅的扩展

前面关于平方可积鞅的积分理论很漂亮,但是对于过程F和M限制较多.下面我们将It积分扩展至局部有界过程关于连续局部鞅的积分,这非常必要.设M=(Mt)t≥0是初值为零的连续局部鞅,那么我们可以选择停时序列{τn}使得τn↑∞a.s.且对任何n,Mτn=(Mt∧τn)t≥0是初值零的连续平方可积鞅(如果必要,甚至可以是有界的).设F=(Ft)t≥0是适应过程,且存在停时列{σn},使得σn↑+∞且对任

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随机微分方程基本定理─《随机分析引论》

随机微分方程的解的存在唯一性不同的意义在不同的场合使用,如果我们关心轨道或者Brown运动是预先给定的,那么我们需要考虑强解,反之如果我们只关心过程的分布或者构造一个过程,那么只需要考虑弱解就可以了.但是在大多数情况下,我们考虑方程的解就足够了,只有需要用同一个Brown运动构造不同的解的时候才需要用到强解.随机微分方程的存在唯一性理论有三大定理,下面第一个定理是说解的存在性和轨道唯一性一起蕴含有

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习题与解答、Markov链和独立增量过程的鞅性证明

1.设(Yn:n≥1)是一个具有有限状态空间E的Markov链,P=(p(x,y)):x,y∈E是转移矩阵,即对任何n≥1及y∈E,有α:E→R是P的从属于特征值λ的特征向量:Pα=λα.令Xn:=λ-nα(Yn),证明:(Xn:n≥1)是一个鞅.2.设X是零均值平方可积的独立增量过程,证明:存在唯一的T上初值为零的递增函数F,使得(X2t-F(t))是一个鞅.3.(Wald鞅)设{Yn:n≥1}

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随机分析引论：随机变量与收敛性

定义1.2.1一个三元组(Ω,F,P)称为是一个概率空间,如果Ω是一个非空集合,F是Ω上的σ-代数且P是(Ω,F)上的一个概率测度.这时候,也称Ω是样本空间,F为事件域,F中的元素为事件,而P是概率.首先让我们考虑Euclid空间,空间(Rn,Bn)上的一个概率测度称为是一个n-维分布.一个1-维分布简称为分布.下面的正则性结果实际上对所有度量空间上的概率测度都成立.定理1.2.1设μ是Rd上

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