空间直角坐标系-高等数学：专业选学模块

在空间取一定点O和三个两两垂直的单位向量i，j，k，就确定了三条以O为原点的两两垂直的数轴，依次记为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称为坐标轴.它们构成一个空间直角坐标系，称为Oxyz坐标系.注：（1）通常，三个数轴应具有相同的长度单位；（2）通常把x轴和y轴配置在水平面上，则z轴是铅垂线；（3）数轴的正向符合右手规则（图1-1）.图1-1坐标面：在空间直角坐标系中，任意两个坐标轴可以

理论教育 2023-10-18

平面方程与法向量及坐标表达式的讲解

1.点法式方程平面的法向量：与平面垂直的向量称为平面的法向量，记作n；其坐标表达式常写为显然，平面的法向量有无穷多个，而且平面上的任一向量都与该平面的法向量垂直.由于过空间一点有唯一一个平面垂直于已知直线，因此，给定了平面的一个法向量和该平面上的一个点，平面就完全确定了.设平面π过点M0（x0，y0，z0），且有法向量n=（A，B，C），在平面π上任取一个点M（x，y，z），得向量（图1-15）图

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高等数学：偏导数的概念及计算

1.偏导数的概念在研究一元函数时，是从研究函数的变化率引入了导数的概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.多元函数的自变量不止一个，多元函数与自变量的关系要比一元函数复杂得多，为此，我们讨论多元函数关于一个自变量的变化率.以二元函数z=f（x，y）为例，如果自变量x变化，而自变量y保持不变（可看作常量），这时z可视为x的一元函数，这时函数对x求导，就称为二元函数z=f（x，y）对x的偏导数.设函

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二元函数连续性的定义|高等数学:专业选学模块

仿照一元函数连续性的定义，下面给出二元函数连续性的定义.设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）的某个邻域内有定义，如果则称函数f（x，y）在点P0（x0，y0）处连续.函数在一点处连续的定义，也可以用增量形式定义.如果在点P0（x0，y0）处，自变量x、y各取得增量Δx、Δy，则函数相应取得增量Δz，即这个增量称为函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处的全增量.现在用函数的全增量来表述

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高等数学：全微分概念及应用

在一元函数y=f（x）中，若f′（x）≠0，那么函数的微分dy是函数的增量Δy的线性主部，可用微分dy近似代替增量Δy，其误差是自变量x的高阶无穷小量.下面在二元函数中讨论全微分.设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某邻域内有定义，当自变量x、y在点（x0，y0）处分别在该邻域内有增量Δx、Δy时，我们知道，函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处的全增量为Δz=f（x0+Δx，y0+Δy）

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高等数学：隐函数的求导方法

一元隐函数的求导方法前面已经学习过，现在从另一个角度来讨论这个问题.设方程F（x，y）=0所确定的隐函数y=f（x）的导数存在，函数F（x，y）在点（x，y）的某个邻域内有连续的偏导数F′x（x，y）和F′y（x，y），且F′y（x，y）≠0，则隐函数y=f（x）的导数为这是因为将方程F（x，y）=0所确定的隐函数y=f（x）代入F（x，y）=0，得恒等式F（x，f（x））≡0.上式左端可看作是x

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高等数学：第一章复习题解答

1.平行于向量a=的单位向量为_____________.2.已知两点和M2，计算向量的模、方向余弦和方向角.3.设m=3i+5j+8k，n=2i-4j-7k，p=5i+j-4k，求向量a=4m+3n-p.4.设a=3i-j-2k，b=i+2j-k，求：a·b及a×b；（-2a）·3b及a×2b；a、b的夹角的余弦.5.已知M1，M2，M3，求与同时垂直的单位向量.6.方程x2+y2+z2-2x+4y+2z=0表示什么曲面？

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直角坐标系下计算二重积分方法

我们由二重积分的定义可知，当f（x，y）在区域D上可积时，其积分值与区域D的分割方法无关，因此可以采取特殊的分割方法来计算二重积分，以简化计算.在直角坐标系中，用分别平行于x轴和y轴的直线将区域D分成许多小矩形，这时面积元素dσ=dxdy，二重积分也可记为在讨论二重积分的计算之前，先要介绍两种类型的区域.（1）若区域D可以表示为其中φ1（x），φ2（x）在[a，b]上连续，则称D为x型区域（图3-

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高等数学：空间直线方程

1.一般式方程空间曲线可以看作两个曲面的交线，类似地，空间直线可以看作两个平面的交线.设平面π1和π2的方程分别为A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0，则它们的交线是一条直线，交线的方程为公式（1.12）称为空间直线的一般式方程.因此，直线L可以用上述方程组来表示，上述方程组叫作空间直线的一般方程.2.空间直线的对称式方程与参数方程（1）直线的对称式方程方向向量：如果

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高等数学：向量概述-高等数学：专业选学模块

在研究力学、物理学以及其他应用科学时，常会遇到这样一类量，它们既有大小，又有方向，如力、力矩、位移、速度、加速度等，这一类量叫作向量.在数学上，用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作（图1-4）.向量可用粗体字母表示，也可用上加箭头的书写体字母表示，例如a，r，v，F，或.图1-4如果

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多元函数的极值-高等数学专业选学模块

多元函数的极值在许多实际问题中有着广泛的应用.以二元函数为主，介绍多元函数的极值概念，极值存在的必要条件和充分条件.设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点（x，y）都有f（x，y）≤f（x0，y0）（或f（x，y）≥f（x0，y0）），则称f（x0，y0）为函数f（x，y）在点（x0，y0）处的极大值（或极小值），点（x0，y0）称为函数f（x，y）的极

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最小二乘法：用一次函数近似两变量关系的经验公式，保证偏差很小

在许多工程实际问题中，常常需要根据实验数据来寻找两个变量之间函数关系的近似表达式.通常把这样得到的函数的近似表达式称为经验公式.下面介绍用一次函数来近似表达两个变量之间关系的经验公式的一种方法.例4 根据实验测得的变量x与y的n组数据（i=1，2，…应该使直线上对应于x=xi的点的纵坐标axi+b与实验数据yi相差越小越好，即偏差yi-（i=1，2，…，n）要很小.那么，能否设法使偏差的和-b）]很小来保证每个偏差都很小呢？

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高等数学：条件极值问题

前面讨论的函数极值问题，除了对自变量限制在其定义域内之外，并没有其他的限制条件，所以也称为无条件极值.但在某些实际问题中，常常会遇到对函数的自变量还有约束条件的极值问题.例如，在条件g（x，y）=x+y-1下，求函数z=f（x，y）=的极大值.这里，函数z=f（x，y）的自变量x、y除了限制在函数f（x，y）的定义域内，即x2+y2≤1，还要满足约束条件g（x，y）=x+y-1.这种对自变量有约束

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高等数学专业选学模块：空间曲线的一般方程

1.空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线.设F=0和G=0是两个曲面方程，它们的交线为C.因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个方程，所以应满足方程组反过来，如果点M不在曲线C上，那么它不可能同时在两个曲面上，所以它的坐标不满足方程组.因此，曲线C可以用上述方程组来表示.上述方程组叫作空间曲线C的一般方程.例6 方程组表示怎样的曲线？

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高等数学：曲面与方程在空间解析几何中的应用

1.曲面与方程在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点的几何轨迹.在这样的意义下，如果曲面S与三元方程有下述关系：（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程F（x，y，z）=0；（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F（x，y，z）=0.那么，方程F（x，y，z）=0就叫作曲面S的方程，而曲面S就叫作方程F（x，y，z）=0的图形.例1 建立球心在点M0（x0，y0，z0），半径为R的球面的方程（图1-

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高等数学二重积分的概念：图解快速求解薄板质量

引例1 已知一平面薄板，在xOy平面上占有区域D，其质量分布的面密度函数μ=μ（x，y）为D上的连续函数，试求薄板的质量M.图3-1由于薄板质量分布不均匀，故我们采用微元法，分三步解决这个问题.分割：将区域D任意分割成n个小块用Δσi（i=1，2，…

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