微分系统的反射函数理论及其应用

微分系统的反射函数及应用

现在我们考虑线性微分系统这里为连续矩阵.设为系统（3.3.1）的反射矩阵.下面我们着重讨论线性微分系统（3.3.1）具有各种特殊类型的反射矩阵的充分条件.在本节中我们简记：情形Ⅰ引理3.3.1 若矩阵函数（3.3.2）为反射矩阵，则f11=eφ11（t），f22=eφ22（t），φ11（t），φ22（t）为可微的奇函数.证 由反射矩阵的性质得，若矩阵（3.3.2）为某微分系统的反射矩阵，则，F（-
理论教育 2023-11-25

微分系统反射函数理论与应用：两个系统等价的充要条件

在7.1中我们已介绍对于微分系统若Δk（t，x）为偏微分方程Δt+ΔxX-XxΔ=0 的解，则系统等价于系统本节我们将证明与系统等价，当且仅当，其中Δk为方程的解，αk（k=1，2，….如果系统为自治的，此时式化为下面我们假设X任意次可微向量函数，我们将寻找式幂级数形式的解Δ=a0+a1t+…将此代入式并比较等式两边t的同次幂的系数可得a1+a0′X-X′a0=0，kak+ak′-1X-X′ak-1=0 （k=1，2，…） 由此我们可解出ak，k=0，1，2，…
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庞加莱映射原理及应用-微分系统反射函数理论

为以后几节的需要，本节主要介绍周期微分系统解的一些性质.考虑微分系统假设该系统满足下列条件：（Ⅰ）X（t，x）连续可微，且对（τ，x）∈Rn+1，其Cauchy问题具有唯一解（Ⅱ）X（t+2ω，x）=X（t，x），ω为正的常数.定义1.2.1它具有以下性质：这些性质可由解φ（t；τ，x）的性质推得，下面我们以性质ⅳ为例来证明.证 由于（1.2.1）为2ω-周期系统，则φ（t+2ω；β，x）与φ（t
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二次多项式微分方程的周期解

），其周期解的个数.根据引理4.3.1我们不妨考虑二阶微分方程其中ai，δ，a1为连续可微函数（i=0，1，2，3，…，n）.对其任一解x，构造函数记y=δx+x′，则式和式变为其中a1=a1+δ.下面将建立Riccati方程与方程解之间的关系？
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微分系统的奇等价及应用-反射函数理论

，3n.又由式，式及式得k=0，1，2，…，3n.这里解x与y之间的映射y=Φ（t，x）可由式确定.定理6.6.2 若微分系统和系统满足6.5节系统中条件（Ⅰ）和条件（Ⅱ），且X（t，x），Y（t，y）具有3n次连续偏导，则它们奇等价的充要条件为微分方程组k=0，1，2，…
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微分系统的反射函数及应用指南

在研究微分系统周期解存在问题的过程中，常常会应用到该微分系统右端函数的对称性或周期性[17，25，35，36]，在此我们将感兴趣的部分介绍一下.考虑微分系统x′=X（t，x）=（X1（t，x），X2（t，x），…
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二阶线性系统反射函数的理论与应用

这节我们将讨论二阶时变线性微分系统的反射矩阵的结构形式以及具有这些特征的反射矩阵的充要条件及其周期解的性态.考虑线性微分系统为连续矩阵函数.假设b（t）≠0，c（t）≠0.当它们中有一个恒等于零时，该线性系统可解出其通解，从而其反射矩阵就很容易求出.设为系统（3.5.1）的反射函数.这里假设f2（t）≠0，当f2（t）≡0时，前面已经讨论过.在本节中记，，，，，等等.引理3.5.1 矩阵（3.5.
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等价系统构造-微分系统反射函数理论及应用

下面将讨论这个问题.下面我们给出构造的步骤1.构造函数Δ（t，x）∶=Y（t，x）-X（t，x），Δ（i+1）（t，x）∶=Δt+ΔxX-XxΔ，（i=0，1，2，…+bm-1Δ（m-1）（t，x）+Δ=0 成立.由此可选择ln＞m，xr=（x1r，x2r，…，bm-1.4.寻找奇的纯量线性无关的函数α1，α2，…，Δm（t，x），6.若由式所得的Δ1（t，x），Δ2（t，x），…
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一个微分方程具有形如的反射函数

根据反射函数的性质，我们知道式为系统的反射函数，当且仅当M′x+N′+MX（t，x）+X≡0，M=1，N=0. 由于X（t，x）关于x解析，从而关于x可任意阶求导，则有N′+MX（t，0）+X≡0； M′+MX（t，0）+MX≡0； MX（t，0）+MX≡0（i=2，3，…
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具有相似Poincaré映射的类

考虑微分系统X（t，x）关于x具有连续的偏导数，且X（t+2ω，x）=X（t，x）.同时考虑微分系统假设该系统的解z（t；τ，z0）在[-ω，ω]上有意义，则在R上有意义.由于其右端函数为t的奇函数，则其反射函数F（t，z）=z，从而其任一解皆为2ω-周期的偶函数.在式（2.4.1）中作变换x=z（t；-ω，y），则式（2.4.1）可化为显然，上式右端为t的偶函数.记φ（t；τ，x）为式（2.4.
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微分系统的反射函数理论及其应用

考虑Cauchy问题：其中x为Rn中的向量，f是实变量t和n维向量x的n维向量值函数.定理1.1.1 （存在唯一性定理）若f（t，x）在开区域GR×Rn中满足下列条件：1）f在G内连续，简记为f∈C（G）；2）f关于x满足局部Lipschitz条件，即对于点P0（t0，x0）∈G， G0={（t，x）|t-t0|≤a，x-x0≤b}G和依赖于P0点的常数Lp0，使得对（t，x1），（t，x2）∈G
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非自治系统的等效自治系统应用

在这一节里我们将讨论非自治微分系统x′=X（t，x）， （t，x）∈R1+n （7.5.1）何时等价于一个自治微分系统x′=Y（x）. （7.5.2）这样非自治系统解的性态可由自治系统解的性态决定.在本节里我们总假设所考虑的微分系统的右端函数连续可微，并保证其Cauchy问题的解存在唯一.引理7.5.1 若微分系统（7.5.1）等价于自治系统（7.5.2），则Y（x）=X（0，x）.证 设系统（7
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函数族的反射函数-微分系统的应用

用反射函数的语言来说即：何时这个函数族的反射函数具有这样形式？，的解.这里为的整数部分.对于函数族，当m＞n时，其反射函数可能不存在，然而我们可以增加向量x的维数xk（t，c1，c2，…
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线性系统等价性的应用-微分系统的反射函数理论及其应用

，m）为2π-周期奇函数，则微分系统定义在[-π，π]上的所有解为2π-周期函数.这是由于微分系统的反射函数为F=T且F≡（x，y）T.下面我们将讨论简单系统或最简系统与一些线性系统之间的等价性.在本节我们将记A∶=A，∶=A（-t），F∶=F，“detA≠0”表示在t=0的去心邻域内，|t|足够小时detA≠0.定理7.4.2 若系统是以F（t，x）为反射函数的简单系统，则系统等价于系统这里αk（k=1，2，…
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