计算二重极限的几种方法

苏燕玲

(对外经济贸易大学统计学院，北京100029)

1　利用函数的四则运算性质及函数的连续性求极限

由于多元初等函数在其定义区域上是连续的，结合多元函数的四则运算与复合运算，定义区域内各点处的极限等于函数在该点的函数值。

例1　求极限

解：由于函数f(x，y)=是多元初等函数，点(1，0)是函数f(x， y)定义区域内的点，所以函数在该点连续，故

例2　求极限

解：对函数有理化后有

而函数在

在(0，0)点连续，所以

2　利用无穷小性质求极限(一元函数关于无穷小性质求极限的方法可以推广到多元函数)

例3　求极限

解：由于x²+y²在(x，y)→(0，0)时是无穷小，是有界变量，

所以

这里用到了有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小的性质，注意这里使用一元函数关于无穷小性质求极限的方法时，已经将多元函数转化为一元函数。

例4　求极限

解：当(x，y)→(1，0)时，ln(x+y)→0，所以ln(x+y)～[(x+y)－1]

于是

例5　求极限

解：当(x，y)→(0，0)时，sin(x³+y³)～(x³+y³)

于是

这里例4、例5都用到等价无穷小替换的性质。

3　用夹逼准则求极限

例6　求极限

解：因为x²+ y²≥2xy，x> 0，y> 0，所以，从而

例7　求极限

解：因为

而，所以

4　通过变量替换化为一元函数求极限

例8　求极限

解：令t= x²+y²，则(x，y)→(0，0)时，t→0

所以

只有通过变量替换将二元函数化为一元函数，罗比达法则才可以使用，也就是说不能对二元函数直接使用罗比达法则求极限。

5　利用取对数求极限

例9　求极限。

解：此极限为幂指函数的极限，令u=(x²+y²)^x2y2，则ln u= x² y² ln(x²+y²)(www.daowen.com)

又

再令t= x²+y²，则

所以

由夹逼准则得

所以

6　通过简单变形求极限

例10　求极限

解：注意到

又x² e^－x→0(x→+∞)，e^－y→0(y→+∞)

所以

例11　求极限解：由于

而，所以

7　用极坐标求极限

若(x，y)→(0，0)时，二元函数中含有x²+ y²，可以考虑极坐标变换法，即令x= r cosθ，y= r sinθ，将f(x，y)的极限问题转换为f(r，θ)的极限问题，但要注意用极坐标求极限时极限过程要适用θ的所有取值。

例12　求极限

解：令x= r cosθ，y= r sinθ，则

当(x，y)→(0，0)时，r→0又，所以

8　用定义求极限

例13　求极限

解：因为∀ε>0，

只须取时

总有x²+y²<ε，即

所以

9　极限不存在情况的判断

多元函数极限不存在的判断一般可以从以下两个方面考虑，当点p(x，y)沿着直线y= kx趋于(0，0)点时，如果极限不存在或者极限与k值有关，则极限不存在；如果点p(x，y)沿着直线y= kx趋于(0，0)点时，极限存在且与k值无关，这时还不能判断极限存在，需要考虑点p(x，y)沿着不同的曲线趋于(0，0)点时的变化趋势，即找两种不同的曲线，如果其中一种曲线极限不存在或者两种曲线极限都存在但不相等，则极限不存在。

例14　判断极限是否存在.

解：很显然，但这并不能说明极限存在，也不能说明极限不存在，因为

考虑曲线

考虑曲线2 x= t，y= t+t³，

所以极限不存在。

参考文献

[1]同济大学应用数学系主编.高等数学(第六版).高等教育出版社出版.

[2]华东示范大学数学系主编.数学分析(第三版).高等教育出版社出版.

[3]朱来义主编.微积分中的典型例题分析与习题(第一版).高等教育出版社出版.

[4]辛春元.二重极限计算方法的研究.长春教育学院学报，2011(7).