对于上述案例出现的大多数术语，农民朋友可能看不懂，但是不要紧，通过本节的讲解，相信诸位农民朋友还是会对大数定律有所了解的。

历史上第一个概率论的极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。

（一）大数定律定义

大数定律（law of large numbers），是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。但是需要注意的是，大数定律并不是经验规律，而是在一些附加条件上经严格证明了的定理，它是一种自然规律因而通常不叫定理而是“定律”。而我们说的大数定理通常是经数学家证明并以数学家名字命名的，如伯努利大数定理。

在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件出现的频率近似于它的概率。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，比如达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的1/2。所以偶然中包含着某种必然。

大数定律还可以分为弱大数定律和强大数定律。

伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。后来泊松、切比雪夫、马尔科夫、格涅坚科等众多数学家在这方面都有重大成就，弱大数定律的研究已经趋于完善，最好的结果属于格涅坚科，他找到了弱大数定律成立的充要条件，而且没有任何独立性或同分布的要求。在20世纪初，博雷尔引入测度论的方法之后，将伯努利大数定律推广到强大数定律并开创了强大数定律的研究，之后工作最有成就的属于柯尔莫哥洛夫，他不但完成了概率的公理化，还找到了独立同分布下的强大数定律的充要条件。如今，对强大数定律的研究仍然是难题，数学家们仍在向着不独立随机变量序列服从强大数定律的条件努力。

（二）大数定律的表现形式

大数定律有若干个表现形式。这里仅介绍高等数学概率论要求的常用的三个重要定律：

1.切比雪夫大数定理(www.daowen.com)

设x1—xn是一列相互独立的随机变量，它们分别存在期望E（Xk）和方差D（Xk）。则对任意小的正数ε，满足公式一：

将该公式应用于抽样调查，就会有如下结论：随着样本容量n的增加，样本平均数将接近于总体平均数。从而为统计推断中依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。特别需要注意的是，切比雪夫大数定理并未要求样本与总体的同分布，相较于后面介绍的伯努利大数定律和辛钦大数定律更具一般性。

2.伯努利大数定律

设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，且事件A在每次试验中发生的概率为P，则对任意正数ε，有公式二：

该定律其实是切比雪夫大数定律的特例，其含义是，当n足够大时，事件A出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。在抽样调查中，用样本成数去估计总体成数，其理论依据就在于此。

3.辛钦大数定律

常用的大数定律为独立同分布的随机变量序列，若数学期望存在，则服从大数定律，即对任意的ε＞0，有公式三：

大数定律通俗一点来讲，就是样本数量很大的时候，样本均值和真实均值充分接近。这一结论与中心极限定理一起，成为现代概率论、统计学、理论科学和社会科学的基石。（有趣的是，虽然大数定律的表述和证明都依赖现代数学知识，但其结论最早出现在微积分出现之前。而且在生活中，即使没有微积分的知识也可以应用。例如，没有学过微积分的学生也可以轻松利用Excel或计算器计算样本均值等统计量，从而应用于社会科学。）