童启明　窦晓霞

摘 要： “横看成岭侧成峰， 远近高低各不同。 不识庐山真面目， 只缘身在此山中。”变换之法显于术， 变换之道隐于形。 专业技术教学以术为表、 寓道于理， 应用变换之法以辨析真伪、 阐释规律， 理解变换之道以养育意识、 提高能力。

关键词： 共轭变换， 模型异构， 可能性空间， 教学实践

变换是思维活动的工具， 变换也体现了思维过程的精髓。 可以说， 变换之 “变”是一种策略， 变换之 “换” 是一种措施， 策略决定方向， 措施影响结果。 变换的目的旨在剖析、 理解、 分析、 解决问题， 变换的精髓在于法不同而道同。

一、 对共轭变换原理的认识

共轭变换是通过变换实现控制过程或进行求解。

曹冲称象的故事早为世人熟知。 在不具备大型称重装备的条件下， 为一头大象称体重很难直接完成， 曹冲采用等重的石头代换大象重量的方法， 巧妙地运用共轭变换原理完成了直接求解不易实现的过程。 若将直接为大象称重变换为石头称重记作L， 称出石头重量记作A， 而后石头重量再换算为大象体重记作L-1， 则整个过程则为：L-1AL。

这在数学上称之为A的共轭过程，即通过L变换和L-1变换，使原来不能控制的过程变换为可以控制的过程，实际是在施行了L和L-1变换之后扩大了对A的可控制范围。 共轭变换是一种方法， 又是一种思维方式， 其中既有具象的变换， 也有抽象的映射。

以线性微分方程数值求解过程为例。 欧拉方法最经典、 最基础， 虽然解算精度不高， 但却深刻地展现出变换思维方法的真谛。 欧拉法也称折线法或矩形法。 折线法，顾名思义， 是以微分方程解曲线 （积分曲线） 的形为求解依据， 在积分区间内逐段构造直线段， 以折线形式代替曲线， 逐点推算微分方程近似解， 如图1 （a） 所示； 谓之矩形法， 是从微分方程解析解 （精确解） 的构成入手， 应用矩形运算取代积分运算完成近似计算， 如图1 （b） 所示。

图1 求解线形微分方程的欧拉方法示意图

应用共轭变换原理解决实际问题是一种具有普遍适用性的方法， 人们的思想活动和生产生活几乎时时刻刻处于共轭变化之中。

在数字计算机中， 需要将积分运算变换为加法运算， 微分运算变换为除法运算；控制系统中要将位置、 角度、 速度、 压力、 流量、 温度等非电物理量转换为电压、 电流量进行处理； 数据通信中要将大量的音频、 视频信息转换为电子脉冲信号进行传输；处理图形图像时需要在二维和三维空间之间进行投影、 透视等坐标变换。

凡此种种， 皆蕴含着共轭变换的机理。

二、 对模型异构性质的理解

模型异构， 简单说就是一个对象或一个过程可以采用不同的模型进行描述。

以简单的8-3编码器为例，8位二进制码输入、3位二进制码输出，若以表格形式描述其功能， 可得到表1所示的功能表或称为状态表。

表1 8位-3位编码器输入输出功能表

表中输入部分的8种状态由8位输入信号中的一位决定， 变换为3位输出时， 3位输出信号的逻辑组合可以表征出这8种状态。 将输入、 输出信号作为逻辑变量， 上述功能表可以归纳为如下的逻辑表达式：

逻辑式右侧代表输入逻辑变量的 “0” “1” 取值， 经过逻辑运算即决定了逻辑式左侧输出逻辑变量的状态。 这种输入输出关系还可以采用图2所示的图形方式描述。

上述三种不同形式的模型描述了同一个逻辑输入输出关系， 表现出对事物演化过程不同的抽象认知层次和再表达程度。 通用、 正则的数学语言最抽象， 集成度高； 图文并茂的概念模型易于理解， 形象化程度好； 表格模型介于两者之间， 兼顾抽象集成与形式化描述。

模型的异构性质实际也蕴含了变换的原理， 因为构造模型的过程本身就是对具体事物、 具体关系、 具体对象的变换， 抽象集成是变换， 概念表达是变换， 形式化描述还是变换。

变换， 是认知和理解客观世界发展过程的必经之路。

图2 8-3位编码器输入输出逻辑关系图

三、 对可能性空间的把握

所谓可能性空间， 即事物发展变化中面临的各种可能性集合， 是控制论中最基本的概念。(www.daowen.com)

任何事物的变化过程都要受到内因、 外因双重因素的影响和约束， 并且在有限的发展空间中还存在许多不确定的因素， 这是由事物的内在矛盾决定的。 当人们根据一定的目的改变条件， 使事物按某个方向发展变化时， 就形成了控制。 从这个意义上说，控制实际上是一个目标驱动的选择过程。

专业技术教学实践中， 无论任务大小， 都是以一定的目标为驱动， 在简单或复杂的条件约束下完成选择过程。 以一个常见的应用问题为例——控制某个机械部件在水平 （或垂直） 的平面空间内做圆周往复运动。

可以肯定， 直线的控制过程比较容易实现， 采用两个机械式的行程开关 （或光电式、 电磁式开关） 作为位置控制元件， 配合控制驱动电机的正反向可逆运行即可， 但现在需要完成360°圆周范围内的往复旋转运动， 如何实现控制呢？

粗略地设想， 答案似乎显而易见， 将直线运动方式改变为环形旋转运动方式就可以吧？ 仔细想一下， 其实并不简单。

如图3所示， 运动部件旋转动作过程中， 如果将标识起始和终止位置的行程开关合在一处， 运动轨迹上会存在一个正反向行进皆不能逾越的死区。

图3 运动部件二维旋转结构控制示意图 （ficher technik designer软件绘制）

如何消除死区呢？ 是否可以只用一个行程开关 （一个常开触点） 呢？ 好像可以。但是注意， 这样虽然可以消除动作死区， 但又会产生新的问题： 正反向旋转控制信号由一个触点产生， 完全相同。 怎么区分？ 肯定还需要辅助的控制方案。

比较容易的办法可以被称为 “奇偶识别” 法， 即设置一个计数装置由软件配合记录开关的碰撞次数。 第一次触碰开关时控制运动部件正向旋转， 第二次触碰开关时部件反向旋转， 第三次正转， 第四次再反转， 以此类推。 这时， 记录触碰位置检测开关元件的次数实际变换为确定运动部件的旋转方向， 或者说是表征出运动部件的状态，这是很关键的一个环节。

从上述讨论中， 大致可以看出思维的变换脉络。 为了完成既定的控制任务， 需要辨析和分解， 要考虑约束限制， 要把不可能剔出， 要将抽象的设计思路转换为具体的实现方案， 通过有序的选择使可能性空间压缩， 逐步趋向控制目标。

四、 在教学实践中的自觉应用

在教学实践中应用变换方法， 不是变魔术般地设置陷阱， 利用视觉误差制造错觉，而是要将主要矛盾、 矛盾的主要方面凸现出来， 并寻求合理、 适宜、 有效的问题解决方案。

例如在电机理论的教学中， 三相对称交流电源如何产生旋转磁场、 旋转磁场按照怎样的规律运行、 作用是什么， 都是比较难理解的问题， 而这个客观存在的对象既是开放的又是封闭的， 很难直接测量、 直接观察。 教学实践中， 可以采用多种技术形式构建模型以及实验演示的方法变抽象为具象、 变不可视为直观可视。 又如机械功率测量问题， 运行中的电动机机输出功率时刻变化， 不易直接测量， 转换为电功率就方便很多。

再以直流调速系统的分析和设计为例， 其基本环节包括调节器、 可控电源、 直流电动机以及转速反馈。 这些环节的基本作用和基本特征是什么？ 如何将实体物理对象抽象变换构造为数学模型？ 在工程上应该做怎样的简化处理？ 系统设计的基本原则是什么？ 在分析、 解决这些问题的过程中， 变换无处不在， 发挥着非常重要的作用。

可控电源是以电力电子器件为核心构成的电能变换装置， 为提供所需直流电能而设置。 可控电源包括触发控制及整流环节， 其滞后效应客观存在， 但滞后时间相对系统的调节过程非常短暂， 如果精确描述会造成系统模型建立过程中不必要的烦琐， 采用一阶惯性环节描述足矣， 此即变换之一。

直流电动机本身包含很多非线性因素， 而作为直流调速系统中的被控制对象， 其主回路电阻、 电枢绕组电感以及运行过程产生的感应电动势可以采用串联结构的电路描述， 应用欧姆定律即可建立基本的电压电流平衡关系， 同时这个关系正是建立直流调速系统静特性模型的基础， 此为变换之二。

进行转速检测及负反馈， 目的明确。 根据反馈控制原理的基本思路， 要保持哪个物理量稳定就采集并反馈哪个物理量， 线性变换即可实现， 此为变换之三。

调节器如何设计呢？ 简单说就是以需求定方案。 输入给定信号与速度负反馈信号比较叠加， 已经非常微小， 必须放大才能保证触发足够的电源变换输出， 而要保证消除系统稳定运行误差， 仅仅采用比例控制还不够， 针对可能出现的扰动必须包含积分控制项， 要根据实际系统的特征和需要设置一个或两个积分环节， 或者还要加入微分控制项， 这是一个应用工程涉及方法的综合变换过程， 也就是整定设计过程。

在教学活动中应用变换之法， 首先是从变换观察角度入手， 根据等效的原则将陌生、 复杂的问题转换为相对熟悉、 简单的问题， 力求全面、 立体地揭示问题的本质核心， 如同在难以逾越的鸿沟上架起桥梁， 又如同打开黑盒子检视内部， 将不可达变为可达、 不可视变为可视、 不可控变为可控。 “变” 非为变而变， “换” 亦非为换而换，变换是要将天堑变通途， 变换是要使问题迎刃而解。 这既是变换的意义， 也是变换的作用。

变换不是断章取义， 不是回避问题、 掩盖问题， 而是要针对问题、 抓住问题、 解决问题。 比如下围棋， 布局要着眼全局， 平衡而不纠缠； 中盘要看大龙、 大趋势， 集中兵力打歼灭战， 有取有舍； 收官要精打细算抢先手， 半目定输赢。

教育教学实践者， 需要根据教学任务和目标灵活运用变换之法以辨析真伪、 阐释规律， 更要深入理解变换之道以养育意识、 提高能力。

参考文献

［1］ 金观涛， 华国凡. 控制论与科学方法论 ［M］. 北京： 新星出版社，2005.

［2］ ［美］ 托马斯·B·谢利丹. 人与自动化——系统设计和研究问题 ［M］. 胡保生， 译. 西安： 西安交通大学出版社，2007.

［3］ 康华光. 电子技术基础——数字部分 （第四版） ［M］. 北京： 高等教育出版社，2000.