虽然逻辑从一开始就能够设想上面提到的问题，但决定性地解决这个问题的动力却来自另外的方面。它来自一种特殊科学的研究，在这个问题上同在大多数其他问题上一样，逻辑直到后来都不能适合这一特殊科学的需要。唯一能够不断地对我们的问题作出严格表述的科学是构造得在每一步上都保证绝对确实性的科学。这种科学就是数学。其他科学，不仅由于不确当的定义而且也由于别的原因而不可能提出这样高的严格性要求，因此它们不可能以如此基本的方式来表述它们的问题。然而，我们将要报告的这些研究的意义并不局限于数学。相反，这些研究原则上对于一般科学概念如同对于数学的概念一样都是有效的。我们把数学的概念作为对问题的思考所依据的范式，这完全是一个方便的问题。

当数学家们发现最基本的几何学概念如点或直线实际上是不可定义的（也就是说，不可能把它们分解为更简单的概念）时候，起初，他们满足于一种观念，认为这些基本概念的意义在直观上已经非常清楚地给出，以至于从这些概念就能够完全确实地从外观上立即看出几何学公理的有效性。然而，现代数学并不满足于这种对直观的依赖。在谈到基本问题时，它不仅着手寻求新的几何学定理，而且还寻求一切几何学真理有效性的根据。由于数学家极力避免任何诉诸直观的做法，因而数学证明，从已知命题推出新的命题的证明，获得了严格性。一切结论都不能从直观中推出，而只能运用逻辑的手段从清楚表述的命题中推出。因此，诸如“从对该图形的思考中可以得出……”“从这图中可以看出……”之类的说法都被禁止。特别是，在几何学的证明中，不再默许任何仅仅通过观察图形便能确立其存在的属性。相反，这些属性的存在必须以纯粹的逻辑方法从假说和公理中推出，或者，如果结果表明这种推论是不可能的，就必须在新的公理中特别地陈述出来。

在这个时候，如果将几何学公理这种为一切证明所依据而本身不可证明的最终原则的有效性仍然归于直观，那就显得不可容忍了。特别是由于受到有关平行性公设的观点发展的影响，数学家们开始怀疑直观的可靠性，他们力图从证明程序中消除的同样正是这种直观。如果基本的数学概念如“点”、“线”、“面”的意义只能通过直观来显示，那么适用于这些基本概念的公理也只有从直观中达到。然而恰恰是这种证明的合法性成了问题。

为了避免这种不确定性，数学家们开辟了一条对认识论具有最重大意义的道路。大卫·希尔伯特在其他人所做的准备性工作^[7]的基础上着手构造具有绝对确实性基础的几何学，这种确实性在任何方面都不会有诉诸直观的危险^[8]。至于希尔伯特是否在每一个特殊之点上都是成功的，或者他的解决方法是否还需要进一步补充和完善，我们在这里不去讨论。我们所关注的只是原则，而不是原则的执行和详细说明。

这种原则本身是惊人地简单。这个任务就是引入一些通常是不可定义的基本概念，使处理这些基本概念的公理的有效性得到严格的保证。希尔伯特的解决办法就是规定仅仅由这些基本的或初始概念满足这些公理这个事实来定义这些概念。

这就是著名的公理定义或公设定义或蕴涵定义。

重要的是要十分清楚地了解这种定义的意义是什么，它提供的是什么，它与通常种类的定义的区别何在。一般地说，在科学中定义的目的就是把概念造成清楚确定的记号，从而使知识的工作能够以充分的信心向前推进。定义正是从这种工作所需要的所有这些特征中建造概念。科学的智力劳动——我们马上就来更加详尽地考察它的性质——就在于推理，也就是从已有的旧的判断中推出新的判断。推理只能从判断或陈述中进行。因此，当我们在思维的活动中利用概念时，我们除了使用某些判断适用于这一概念这个属性——如公理适用于几何学的初始概念这个属性——以外，并不使用这一概念的任何属性。由此可见，对于进行一系列推理的精密科学来说，概念事实上仅仅是关乎它的某些判断能够得以表达罢了。因此，这也就是概念应当如何定义的方法。

现代数学在选择以这种方式定义几何学的基本概念时，实际上并没有创造什么全新的和独特的东西。它只是指出了这些概念在数学的演绎中实际上所起的而且一向都在起的作用而已。那就是说，当我们从一些数学真理推出另一些数学真理时，这些基本概念的直观的意义并没有受到任何影响。由于所涉及的只是数学命题的有效性和它们之间的相互联系，就这点来说，比如我们把“平面”这个词是不是理解为每个人在听到这个词时所想到的熟悉的直观图形还是理解为任何别的图形，对这种数学的演绎都没有造成任何影响。在这里重要的只是这个词意味着使一套特殊的陈述（公理）得以成立的东西。对于在这些公理中出现的其他概念来说，也完全如此。它们也同样是由它们与别的概念处于某种关系之中这个事实来定义的。

因此，希尔伯特从一个命题系统开始，在这个命题系统中有许多词项（如“点”、“直线”、“平面”、“在……之间”、“在……之外”，等等）开始时并没有任何意义或内容。这些词只是借助于该公理系统而获得意义，只具有该公理系统所赋予它们的内容。它们所代表的东西全部实质就在于作为该系统所构成的关系的承担者。这并不表示任何特殊的问题，因为这些概念并不是实在的事物。即使不能把实在的直观的事物的存在仅仅看作是它与其他事物之间的某种关系，即使我们不得不认为关系的承担者是被赋予某种自身性质的存在——这也不适用于这些概念。

此外，经验表明，对于一个新手来说，他是很难掌握这种用公设组成的系统来定义概念而概念又没有任何实际“内容”的观念的。我们会本能地设想，概念必须具有一种能够表现出来的意义，甚至更难忽略关系的直观意义而把握概念之间存在的这种关系。例如，“在直线a上的一点C在点A和点B之间”这个句子，我们应把“在……之间”和“处在”这些词只是同它们表示一定对象A、B和C之间的某种特定关系这个意义相联系——但是它们不需要标示的，恰恰是我们通常与这些词相联系的那些关系。任何不熟悉这种极为重要思想的人最好通过思考各种各样的例子来熟悉它。

自然，能够以纯粹形式提供这种例子的是数学。数学能够完全不依赖其直观意义而研究几何学概念之间的关系本身，这正是这门学科经常使用的事实。例如，试想有一组无限多的球面通过空间中的一个特定的点，想象一下这个点本身从空间中取消。那么看一看普通的欧几里得几何定理，只要有“平面”这个词出现的地方，就用它来表示一个球面，用“点”这个词表示一个点，用“直线”这个词表示一个球面上的大圆，还以同样方式对“平行”这个词加以重新解释，等等。我们很容易看到，我们由此得到一组对这一球面系统全都成立的命题。因此，在这个例子中，在这些球面、大圆等等之间存在的关系与通常在空间中的平面、直线等等之间存在的关系恰好是相同的（在通常空间中没有一个被认为是取消的点）。但是在这两种情况下，我们的直观图像当然是完全不同的。这就为我们提供了在直观表象上不同于普通几何学的直线和平面但彼此之间具有相同关系并且服从相同公理的结构的范例。对于数学家来说，设想出任意多的其他结构来完成相同的事情，那是很容易的事。

让我们再举另外一个例子。黎曼的平面几何的定理同欧几里得球面几何的定理是完全相同的，只是我们要把黎曼平面几何的直线理解为欧氏几何的大圆，等等。同样，在投影几何中把“点”和“直线”这些词加以交换，那么它的这些定理仍然保持其真理性。然而，我们通常用这些词所标示的直观结构是多么的不同！(www.daowen.com)

这些例子可以随意举出许多，理论物理学也提供了很多这样的例子。实质上不同的现象可能都服从相同的形式法则，这是一个人们熟知的事实。相同的方程可以表示不同的自然现象，这取决于我们赋予该方程中的量的物理意义。人们都很熟悉的一个非常简单的实例，其中概念之间的相互关系与直观内容全然无关，这就是我们用来说明亚里士多德推理样式的公式。当我们从“所有M都是P”和“所有S都是M”这两个前提推出“所有S都是P”时，这种逻辑关系的成立完全不依赖于符号“ S”、 “M”和“P”可能意指什么。唯一有关的就是这两个前提中所规定的概念之间的相互关系。符号“S”可以标示“人”，同样也可以标示轮船上的螺旋桨或者标示对数。因此，可以很容易看出，引入任何歧义性的符号引起将纯粹的逻辑形式同内容分离，这种分离只要首尾一贯地进行，最终便导致用蕴涵定义来规定概念。

我们可以得出这样的结论，通过严格演绎的方法构造科学理论如在数学中发现的理论，与我们对初始概念的直观图像没有关系。这种理论构造所要考虑的只是在蕴涵定义中所规定的东西，也就是如公理中表达的初始概念之间的相互关系。从数学作为相互联系的命题组成的固定结构这个立场来看，我们与“平面”、“点”这样一些词相联系的直观的观念只能算作是图解性实例而已。所有这些实例，如我们在前面所看到的，都可以用完全不同的实例来代替。诚然，在我们上面引述的实例中，我们代替初始概念通常意义的也还是我们在普通几何学中所熟悉的那些空间图形。但在原则上没有什么东西妨碍我们使用非空间的对象。例如在解析几何中，“点”这个词严格说来只是意指三重数组。我们可以把空间坐标的直观意义赋予这些数，这个事实并不影响它们之间的相互关系，也不影响我们运用这些数所进行的运算。

因此，几何学作为一座由严格精确的真理构成的坚固的大厦，真正说来并不是一门空间科学。空间图形只是作为一种使几何学命题抽象地建立起来的关系得以显现出来的直观的实例。关于相反的问题——就几何学旨在成为一种空间科学来说，是否能够被看作由绝对严格的真理所构成的坚固联接的结构——则是一个数学的认识论的问题。在这里，我们不打算解决这个问题，因为我们现在所关注的只是知识的一般问题。然而，从我们前面的论述就足以清楚地表明，我们对这个问题不可能像人们可能设想的那样作肯定赞同的回答。因为正是由于对直观空间形式的命题的绝对严格性感到疑虑不安，才导致不通过直观而通过公设系统来定义概念。

现在，我们应当更清楚地说明蕴涵定义的意义和效果以及它们和普通定义如何区别开来。就普通定义来说，当最终的不可定义的概念以某种方式在直观中显示出来时（见第6节，具体定义），定义过程便终结了。这就涉及要指出某种实在的东西，某种具有个别存在的东西。于是，我们便指出一粒沙来解释点的概念，通过拉紧的绳子来解释直线，通过受过教育的人发现在自己的意识的实在中存在的某种情感来解释公正的概念。简言之，我们正是通过具体定义来建立概念与实在之间的联系。具体定义在直观的实在或被经验到的实在中显示出以后要用概念来标示的东西。另一方面，蕴涵定义则与实在没有任何关联或联系；蕴涵定义明确地并在原则上拒斥这种联系，它们停留在概念领域。借助蕴涵定义而产生的真理系统在任何方面都不是建立在实在基础之上的。相反，它们可以说是自由地飘浮，像太阳系那样在自身之内保证自身的稳固性。在这种理论中出现的任何概念都不标示任何实在的东西；而是说，一个概念的意义就在于与许多其他概念的特殊的配合，正是以这种方式使这些概念相互标示其意义。

因此，构造一种严格的演绎科学只有符号游戏的意义。例如，在数论这样的抽象理论中，我们为了从概念游戏中获得快乐而建立起这种理论大厦。但在几何学中，尤其是在经验科学中，之所以使概念之网集中到一起的动因首先在于我们对某些直观对象或实在对象的兴趣。在这里，人们的兴趣并不怎么放在抽象的相互联系上而更多地放在与概念性关系并行的实例上。一般地说，我们自己关心抽象的东西只是为了能把它应用于直观的东西。但是——我们的讨论要一再地回到这一点上——我们一旦把概念性的关系转到直观的实例上来，就不再能够保证完全的严格性了。当实在对象给予我们时，我们怎么能以绝对的确实性知道它们彼此之间的关系恰好就是我们能够用以定义概念的那些公设中所确立的那种关系呢？

康德相信，在几何学和自然科学中直接的自明性保证我们能够绝对确实地作出关于直观和实在的对象的某些判断。对他来说，唯一的问题是要解释这种判断是如何发生的，而不是去证明这些判断存在。但是，对这种信念我们是有怀疑的，因为我们发现自己是处在完全不同的情况之中。我们能够有理由说的只是康德主义的解释实际上可能适合于为存在着的绝对实在的知识提供可理解性；而对这种知识存在则不是我们能够断定的东西，至少不是在我们研究的这个阶段能够断定的。在这个阶段，我们甚至也不可能知道如何获得对这种知识存在的证明。

因此，更加重要的是，我们发现蕴涵定义是一种能够使我们完全确定概念从而在思维中获得严格精确性的工具。为了达到这一目的，必须把概念和直观、思想和实在彻底地分开。当我们真的要把这两个领域彼此联系起来时，它们似乎根本不是结合在一起的。联接它们之间的桥断裂了。

尽管代价可能十分高昂，但目前也必须付出。我们不可能一开始工作就对任何情况下保持实在知识的严格性和有效性具有先在的观念。我们的任务只是在于获得关于知识的知识。我们由于认识到把概念和实在两个领域完全分开是可能的，因而已经朝着我们的目标取得了相当大的进展。我们越是明确、坚定地实现这种分离，就愈清楚地掌握认识活动中这两个领域所形成的关系。

为了避免误解，这里要作一点补充性说明。我们要强调指出，并非每一套任意的公设都可以看作是一组概念的蕴涵定义。确定公理必须满足一定的条件，例如，它们不包含矛盾。如果一套公设不是自洽的，那么任何概念都不会满足所有这些公设。因此，如果目的是要依据一定的公理构造一个演绎理论，那么必须证明这些公理是自洽的。这常常是一个非常困难的任务。但这是这种理论的应有之义，就我们对蕴涵定义理论的讨论来说，可以认为这是已经解决了的问题。

我们还应注意，在这里，“蕴涵定义”这个表达式是在比现今数学上的习惯用法更广的意义上来使用的。在这里，我们用显定义意指通过其他概念的结合来表达一个概念，从而这一概念无论在哪里出现，都可用这种概念的结合来代替；如果这种结合不可能加以明确规定，我们则谈论蕴涵定义。由于自本书第一版出版以来蕴涵定义这一用语在哲学文献中获得了广泛的承认，而且也没有任何引起误解的危险，所以我保留这一节使用的这一用法。