独立需求库存控制需要回答两个基本问题：什么时候补充订货？每次订货数量是多少？每次补充库存需要的订货数量常常由经济订货批量模型解决。什么时候补充订货就是要决定什么时候以经济批量来补充库存，通常通过设置再订货点来解决。

与库存系统相关的成本有五大类别：订货或设置成本、库存持有成本、缺货成本、机会成本以及货物成本。

1．订货或设置成本

订货成本指与物料的外部采购相关的成本，设置成本指与部分物料的内部获得（内部制造）相关的成本。订货成本包括以下工作的成本：书写成本、通过采购系统处理订单、邮寄、处理发货清单、处理应付账款以及如搬运、检测及运输等收货部门的工作。设置成本包括以下工作的成本：书写订单及内部生产系统的处理、安排工人、由于重新设置而出现的机器停顿（如机器闲置）、设置期间的零部件损坏（如机器设置时通常用实际零部件来做测试）；还包括与员工学习曲线有关的成本（如新一轮生产开始之初出现的高废品率及低生产率的成本）。

2．库存持有成本

库存持有成本包括以下三个主要部分：资金成本、存储成本、风险成本。

（1）资金成本包括在库存上所投资金的利息以及为了持有和维持库存所必需的土地、建筑物、设备上所投资金的利息。这类成本通常会占到货物成本的20％以上。

（2）存储成本包括建筑物的租金、税金和保险费；建筑物折旧；维护与修理成本；照明等电力成本；安保人员的工资；对库存征收的税；搬运库存的劳动力成本；文档记录和文员的成本；设备的税金和保险；设备折旧；设备的燃料与能源成本；修理与维护成本。这些成本中有些是可变的，有些是固定的，有些是“半固定的”。

（3）风险成本包括库存的过时、库存的保险、库存物品的物理变质、失窃损失等方面的成本。

虽然上述成本中有些相对较小，但持有库存的总成本可能相当大。研究表明，一家典型的制造企业，这类成本会占到库存成本的35％。其中大部分是所投入资金的成本。

3．缺货成本

缺货成本包括因缺货导致销售额损失、商誉损失以及与处理延迟交货相关的成本（如额外的文书工作、催料、赔偿及更高的运输成本）；生产所需物料的缺货会导致生产作业计划的重新安排成本、停工与延误成本、为获得所需零部件采取“紧急”运输的成本以及用更昂贵的零部件或原材料代替的成本。

4．机会成本

机会成本包括由于要求增加产出而出现的加班成本；雇用、培训及解雇人员的人力资源管理成本；高峰期雇用低技能人员的生产率损失成本；需求减少而导致生产能力闲置的成本。

5．货物成本

货物成本指的是购买货物所发生的费用支出。虽然这项支出迟早都必须发生，但采购的时间（机）及批量对成本有极大的影响，比如数量折扣等方面的因素。

订多少货的问题常常通过订货批量模型得以解决。经常使用的订货批量模型有经济订货批量模型、经济生产批量模型和折扣批量模型。这里介绍基本经济订货批量模型和经济生产批量模型。

1．经济订货批量模型

经济订货批量（Economic Order Quantity，EOQ）适用于按批量或订单补充库存，而不是连续地生产出来或送达的物品。前面分析了与库存有关的各种成本，但在基本的EOQ模型中只考虑两类成本，即库存持有成本与订货成本。因为在EOQ模型中，我们假定需求是恒定的，故不会发生缺货与产出能力变化，从而不会涉及缺货成本与机会成本。货物成本被假定是固定的，因而不会影响关于“何时订购”以及“订购多少”的决策。

年库存总成本由年订货总成本和年库存持有成本构成，即

年库存总成本＝年订货总成本＋年库存持有成本

【例6-3】考虑一家瓶装水分销商，其货物来自福建闽西山区的泉水。该分销商每个月（30天）将20千克装的1000瓶水卖给东南沿海的居民。假设对于瓶装水的全年需求是恒定的，该分销商每次订购2000瓶，收到订货的提前期是6天。成本核算部门分析了库存成本，确定发出一份订单的成本为60元，每瓶20千克瓶装水库存的年持有成本为10元。

在当前的订货策略下，该瓶装水分销商的年度总库存成本为多少？其库存模式如图6-5所示。设总需求量（年）为D；订货批量为Q；发出一份订单的费用为S；单位物品年持有成本为H。

图6-5　瓶装水分销商的库存模式

为了确定在当前的订货策略下该分销商的年度库存总成本，我们必须确定两类独立的年度成本：年度库存总持有成本与年度总订货成本。

订货成本取决于发出一份订单的成本（60元）S及每年发出订单次数。由于该分销商每年卖掉12000瓶20千克装瓶装水，每份订单为2000瓶，所以每年必须发出6份订单（即12000/2000），总订货成本为360元（6份/年×60元/份）。可以用以下公式表达年订购成本

年订货成本＝

年持有成本取决于每年持有一瓶20公斤瓶装水的成本（10元）H，以及作为“周转存货”持有的瓶数。这里要注意的是，库存水平是在不断变化的，没有哪瓶水在整个一年中都作为库存存在。分销商的库存变化是这样的：在周期开始时库存水平为2000瓶（一批订货入库，使库存达到最大），在下一批订货入库前降至0个单位，新的订货入库又使库存水平达到最大。分销商全年的库存是周而复始地在0～2000变化。平均库存为0与2000的算术平均数：（2000＋0）/2＝1000。那么，年库存持有成本就是10000元（1000瓶×10元/瓶）。用通用的公式表示为

年持有成本＝

将年订货成本与年持有成本相加便得到年度库存总成本TC的如下公式

对于该分销商来说，年度总成本为10360元（360＋10000）。因此，按照每份订单2000瓶订货量的库存策略，每年的花费为10360元。这是不是最好的做法？还能改进吗？

所谓经济订货批量（EOQ）是使总成本TC最小时的Q值，则

对于该分销商，可以计算出其EOQ为

显然，瓶装水的单位不能为小数，故订货量可取整数为380个单位，即380瓶。

这种订货策略的年度库存总成本为

还可以建立年持有成本及年订货成本随订货量变化的关系图，如图6-6所示。年持有成本为（Q/2）H，也可以写成（H/2）Q，由此可以看出持有成本是线性的，随Q的增加而增加。年订货成本为（D/Q）S，也可以写成（DS）/Q，可以看出订货成本与Q为非线性关系，且随Q的增加而减少。

图6-6　经济订购批量模型

从图6-6中可以看出，TC首先随着订货成本的减少而减少，然后开始迅速增加。TC值最小的点就是最佳的订货批量；也就是说，这个批量对应着最小的年度总库存成本。这一点称为经济订货批量（EOQ），在图中它恰好对应着订货成本曲线与持有成本曲线的交点处。

对于订货量为2000瓶的做法，经济订货批量的库存策略意味着6565.26元的费用节省。在现实的库存实践中，TC对于在EOQ附近的库存量变化常常表现出相对的“不敏感性”。这意味着库存经理在订货数量选择上有一定的灵活性。例如，如果当订货量为500单位时（比如这类物品是以250单位装的货盘来运输）运输与搬运更方便或更经济，则每次订货所增加的120个单位每年只是使企业多花费了145.26元。

有时，库存策略是基于两次补充订货的间隔时间，而不是批量的大小。一个特定批次的订货间隔时间（Time Between Orders，TBO）是收到（或发出）Q单位补充订货之间的平均间隔时间。当以一年为单位用分数形式表示时，TBO可以直接用Q除以年需求量得出。当使用EOQ并以月为单位来表示时间时，TBO可以下式计算

【例6-4】利用例6-3中的数据，如果使用EOQ的批量标准，求多长时间订货一次？

解：在运用EOQ时，同一时期的订货间隔时间（TBO）可以用多种形式表示。

2．经济生产批量（Economic Production Quantity，EPQ）模型

经济生产批量模型用于当补充货物不是在库存正好降至零时到货的情况。在这种场合下，产品由内部生产，库存水平是逐渐建立起来的。EOQ模型建立在瞬时补货的假设上，更适用于产品外购时的情况，而EPQ模型更适合于产品内部制造时的情况。对于内部生产的产品而言，库存水平是随着一件件产品的完成而逐渐增加的。另外，与前述的订货成本相对应，内部生产产品会产生一个设备调整成本（Cs）。其库存模式如图6-7所示。

图6-7　内部生产的产品库存模式

在图6-7的EPQ模型中，最大库存水平（Imax）小于生产批量EPQ，因为产品一边在生产一边用于满足需求。在基本的EOQ模型中，Imax等于EOQ，因为正当库存水平降至零时，所订货物全部瞬时到货。

在EPQ模型中，一个库存周期由两部分时间构成：制造产品的期间（即由时刻0到时刻t1）和时刻t1到t1＋t2的期间，即t2持续的时间，在这一期间中产品的生产已经停止而库存用于满足需求。t1和t2的长度取决于生产率（p）和使用率（d）。在下面的公式中，使用QEPQ来将EPQ与经济订购批量Q相区分。

简言之，t1是在生产率为p的情况下生产QEPQ件产品所需要的时间，t2是在使用率为d的情况下用完累积库存所需的时间。节拍（t1＋t2）则是用完QEPQ件产品所用的时间。

在图6-7中，最大库存水平为

库存持有成本为(www.daowen.com)

设备调整（或订货）成本为

年度库存总成本为

所谓经济生产批量EPQ是使总成本最小时的QEPQ值，由年度库存总成本对QEPQ求导得

【例6-5】某公司产品的市场年需求量为1万台，该公司年工作日按250天计算，生产率为100台/天，生产提前期为7天。单位产品的生产成本为7元，单位产品的存储成本为0.50元，设备调整的准备费用为50元/次。求：经济生产批量；每年生产次数；最大库存水平；一个周期内的生产时间和纯使用时间；再订货点。

解：由EPQ模型得

每年生产次数为

最大库存水平为

生产时间和纯使用时间为

再订货点为

经济订货批量模型和经济生产批量模型回答了订多少货的问题，但还没有回答什么时候订货的问题。现在，通过介绍再订货点（ROP）模型来回答在多个期间上具有不确定需求的情况下什么时候订货的问题。

已知道再订货点模型的基本含义：一旦库存持有量降至某一事先确定的数量，就会发生再订货。这个数量一般包括生产或订货提前期内以及额外可能库存的期望需求，额外库存用于减少生产或订货提前期内的缺货可能。再订货数量取决于四个因素：需求率（通常基于预测）、生产或订货提前期、需求与生产提前期的变化、管理者可以接受的缺货风险。

由于需求率和提前期的变化，因此必须分析安全库存和服务水平之间的关系。安全库存是用于减少发生缺货的可能性的库存。由于提前期内的需求及提前期本身都可能发生变化，因此，在等待补货期间就有可能将库存耗尽，所以需要安全库存。而服务水平是用当前库存所满足的需求部分。服务水平可用多种方式衡量，如当前库存可满足的订单百分比，从当前库存发运的需求品目百分比等。安全库存与服务水平之间存在重要的关系：持有安全库存是为了实现企业所设定的服务水平。

再订货点模型如图6-8所示。提前期的预期需求是Q1个单位。在时刻A，当前库存等于Q1再加上安全库存。持有安全库存只是一种保险措施，以防提前期中发生意外的高需求或提前期的意外延宕。因此，一般情况下不会使用它。点A代表再订货点ROP，在此当前库存的数量等于预期的提前期需求。换句话说，当现有库存达到Q1加安全库存时发出补货订单，则所购货物应当在恰好用完Q1个单位的产品，只剩下安全库存时到货。在图6-8中，补货订单在时刻B到货。预期提前期是A～B点的时间段。

图6-8　再订货点（ROP）模型

再订货点模型可以区分为四种情形。

1．需求确定和提前期确定

如果生产提前期内的需求是常数，再订货点就很简单

ROP＝d×L

式中　d——需求率（每天或每周的平均或期望需求量）；

L——生产提前期天数或周数。

2．需求不确定与提前期确定

如果生产提前期内的平均（期望）需求发生变化，实际需求就有可能超过期望需求。因此，为减少生产提前期内耗尽库存（缺货）的风险，而持有额外库存即安全库存就十分必要。于是，再订货点应该再增加一个安全库存量，即

ROP＝生产或订货提前期内的平均（期望）需求量＋安全库存量

由于在订货提前期内的平均需求可变且不确定，因此选择ROP时做出的实际决策与安全库存量密切相关。安全库存的大小关系到顾客服务水平和库存持有成本两者之间的权衡。确定ROP的常用方法是由管理层——以主观判断为基础——选定合理的服务水平，然后再确定可以满足这种服务水平的安全库存水平。

（1）服务水平选择。确定安全库存量的一种方法是设定服务水平，或周期服务水平——就是任一订货周期内不耗尽库存的期望概率。订货周期从发出订单开始，一直到这批订货入库时结束。例如，某商店经营者设定某商品的服务水平为90％，它意味着在提前期内需求量不超过供应量的概率为90％。为了将这种服务水平转化为具体的安全库存水平，需要知道提前期内需求量的分布形式。如果需求量围绕其平均值的变化幅度很小，安全库存就可以很小；反之，如果从一个订货周期到下一个订货周期，提前期内的需求量大幅度变化，那么安全库存就必须很大。

（2）计算安全库存量。在确定安全库存时，通常假定提前期内的需求量为正态分布，如图6-9所示。提前期内的平均需求为图中的中线，曲线下方左右两边的面积各占总面积的50％。因此，如果选择50％的周期服务水平，那么再订货点ROP就是这条中线所表示的数量。由于ROP等于提前期内的平均需求量加上安全库存量，因此，当ROP等于该平均需求量时，安全库存量为0。在50％的时间里需求量小于平均数，因此，在没有安全库存时只有50％的时间里可以满足顾客需求。

图6-9　用正态分布求解周期服务水平为85％时的安全库存量

要提供高于50％的服务水平，再订货点就应该大于提前期内的平均需求量。在图6-9中，需要把再订货点向右边移动，这样，曲线下方多于50％的面积将位于ROP的左边。在图6-9中，用ROP左边曲线下方85％的面积可以达到85％的服务水平，而ROP的右边仅有15％的面积。用实现服务水平所需的偏离均值的标准离差的个数z乘以提前期内需求量概率分布的标准离差值σL，可以计算安全库存量为

安全库存量＝zσL

z值越大，安全库存量和服务水平就应该越高。如果z＝0，就没有安全库存，而订货周期内将有50％的时间会发生缺货现象。

【例6-6】记录显示洗涤剂在订货提前期内的需求量呈正态分布，其平均需求量为250箱，且σL＝22。那么，在服务水平为99％的条件下，应该持有多少安全库存量？再订货点是多少？

解：首先要求出z值，即订货提前期内的平均需求右边的标准离差个数，该点左边曲线下方的面积占总面积的99％（在正态分布表附录中查0.9900）。正态分布表中最接近的数值为0.9901，该值行对应值为2.3，列对应值为0.03。将两者相加得出z值为2.33。利用该数据可以计算安全库存量和再订货点

安全库存量＝zσL＝2.33×22＝51.3（箱）或51（箱）

再订货点（ROP）＝提前期内的平均需求量＋安全库存量＝250＋51＝301（箱）

将安全库存量取接近于它的整数。在本例中，理论上的服务水平将小于99％。如果将安全库存量提高到52箱，则服务水平会大于99％。管理层可以通过选择服务水平来控制安全库存量。另一种减少安全库存量的方法是缩小提前期内需求的标准离差，这要借助于信息技术，通过与主要顾客进行密切协调来实现。

一旦确定了期望的服务水平，从正态分布表上便可以查得一个适当的z值。例如，当管理者期望一个97％的服务水平。从正态分布表中，可以找出一个离0.97尽可能近的值，然后确定其z值。离0.97最近的数值是0.9699，其对应的z值为1.88。1.88的z值意味着97％的服务水平，必须持有超过需求1.88个标准差的安全库存。

根据以上分析，在需求不确定而提前期确定的情形下的ROP便可计算为

式中　——需求可变时的平均需求率；

σt——需求可变时的需求标准离差。

【例6-7】某一商店销售一种豆浆机，长时间以来很受消费者的青睐。假定这种商品的平均需求量为18单位/周，其标准离差为5单位，提前期为2周。如果管理层希望达到90％的服务水平，试确定安全库存量及再订货点。

解：在正态分布表中查找0.9000，该值对应90％的服务水平。表中最接近的数值为0.8997，相对应的z值为1.28，利用该数据可以计算再订货点如下

3．需求量确定与提前期不确定

在这种情形下，可以通过持有安全库存来防备拖长的提前期，或者说补充订货到达的意外延宕。其计算公式为

式中　——提前期可变时的平均提前期；

σL——提前期可变时的提前期标准离差。

4．需求不确定与提前期不确定

需求与提前期均可变也许才是最现实的情形。这种情形下，两种变异源必须“合”在一起以得到一个衡量提前期需求（DL）总变异的指标。这里不作详细推导，只是指出在这种情形下计算提前期需求总变异的公式是基于两个独立变量（需求和提前期）的积。提前期需求的总标准差为

在此基础上，需求与提前期均可变的情形下的ROP便为