1968年，以点球决出平局胜负这一规则尚未引入。在当年举办的欧洲杯足球赛中，意大利和苏联两方在半决赛加时后依然一球未进，最终依靠投掷硬币来决定哪支球队晋级决赛。自古罗马时代以来，世人便普遍将投掷硬币视为一种解决纷争的公平手段。毕竟，当硬币在空中旋转时，人们是无法猜出其落地时是正面还是反面的。对吧？

理论上，如果你知道硬币的准确位置，知道它翻转了多少圈，知道它何时着地，你便能计算出硬币着地时的状态。然而，是否和天气预报一样，在所有这些因素中，只要有一丁点儿变化，便会产生截然不同的结果呢？加州斯坦福大学的数学家佩尔西·戴康尼斯决定检测一下硬 币的投掷是否真如我们想象的那样无法预料。如果条件完全相同，不管你何时投掷这枚硬币，根据数学运算，最终的结果都会是一样的。但混沌特质是否也隐藏于硬币的投掷中呢？如果我们对初始状态做一点改变，是否它会被放大，从而无法预料硬币落地时是正面还是反面呢？

在一位工程师朋友的帮忙下，戴康尼斯制造出一台硬币投掷机，这台机器可以反复地重复相同的投掷方式。当然，每次投掷都有十分细微的差别，但是，这些细微差别是否会对结果产生巨大影响呢？就像在3个磁体中游移的钟摆那样？戴康尼斯发现，每次他用这台硬币投掷机重复试验时，都会得出相同的投掷结果。此后，他训练自己以一模一样的方式反复投掷硬币，并成功地做到了连续掷出10个正面。因此，大家以后可要小心了，在押注硬币的时候，首先要确定对方不是戴康尼斯这样的掷硬币高人。

那么，要是普通人掷硬币又会如何呢？他们这次掷硬币的方式和下次掷的方式会不同吗？戴康尼斯想知道这里面是否依然存在不公平的成分。在开始他的数学分析之前，他要先找到一位旋转物体方面的专家。而当他遇到理查德·蒙哥马利后，他知道眼前的这位就是他要找的人。蒙哥马利通过证实落猫理论（解释出为何一只猫不管从何种角度被扔下，最后总能以四脚着地）而声名鹊起。再加上统计学家苏珊·霍尔曼的帮助，这3人共同证明出，大拇指弹出的硬币在落地时会倾向于某个特定的面朝上。

为了将这一理论转化为实际的数字，他们需要对旋转硬币在空中的运动状况进行一些认真的分析。借助一台每秒能拍摄10 000帧图像的高速数码相机，他们捕捉到一枚硬币的运动状态，并把这些数据填入到他们的理论模型中。最终的发现却有点出人意料：在真实的硬币投掷中的确存在不公平的成分。但这种不公平的几率很小：在一枚硬币被弹向空中时，落地时朝上的那个面有51%的概率。个中原因似乎与回旋镖或陀螺的物理原理存在关联。翻转的硬币似乎也和陀螺一样会产生旋进现象。因此，最初朝上的那个表面在空中停留的时间更长。这种差异在一次投掷中是无关紧要的，但在多次投掷中，则会变得十分显著。

十分在意这种长期差异的机构之一便是赌场了。赌场的收益便建立在这种长期概率之上。在每次骰子的投掷和轮盘赌的转动中，赌场的盈利都指望着赌客判断失误。正如硬币的投掷一样，如果你能知道转盘或球的准确起始位置，以及它们的初始速度，那么，从理论上来说，通过牛顿力学，你便能确定出小球的落点。在同样的位置，以同样的速度开启轮盘，并让庄家以一模一样的方式释放小球，小球便会落在完全相同的位置上。这里的问题即庞加莱发现的那个问题：即使在初始位置或轮盘、小球的速度方面有细微变动，亦会对结果造成巨大影响。骰子也是一样。(www.daowen.com)

但是，这并不意味着数学在此就不起任何作用了，它还是能帮助我们将小球锁定在一个可能的范围内。在下注以前，你应该先观察几次小球在轮盘中的旋转情况，如此，你便有机会对小球轨迹做一番分析，并预测出其最终的落脚点。三位东欧人（一位“美丽时髦”的匈牙利女子和两位“优雅”的塞尔维亚男子）所做的正是这样。2004年3月，他们在伦敦的里兹赌场通过数学运算而在轮盘赌项目上大赚了一笔。

他们将激光扫描仪隐藏在一个手机内，而手机连接着一台电脑，以此记录下两轮轮盘赌中的小球转动情况。电脑通过运算预测出小球接下来可能会落脚的6个数字。于是，在第3轮赌局中，他们开始下注。3人将胜算从37∶1提升到了6∶1，于是在所有预测到的6个号码上均下了注。第一个晚上他们就赢走了10万英镑。第二晚则更拿下了令人吃惊的120万英镑。尽管3人因此被捕并经历了9个月的保释期，他们最终则被宣布无罪，并能够保留他们所赢得的金额。司法小组认定他们并未对轮盘动任何手脚。

这几位赌客意识到，尽管轮盘赌中存在混沌状态，但小球和轮盘初始位置的细微变化并不总会导致结果上的巨大改变。这便是气象学家在预测天气时所依据的原则。有时，他们在研究计算机模型时就会发现，改变今天的天气条件并不会对预测造成重大影响。上述这三位赌客用电脑做的事情也与此相同，透过成千上万种不同情况来预测出小球的落脚之处。它无法给出准确的位置判定，但将范围缩小至6个数字已足以让这3位赌客在赌局中占据有利地位。

读到这里，你也许认为自然界中的问题能够划分为简单的可以预期的问题（比如从比萨斜塔上落下的一颗球体）和混沌的难以预料的问题（比如天气）。但现实并非如此黑白分明。有些问题可能一开始简单而可预料，但由于某个部分的细微变化，便会转而进入混沌状态。