2005年，当乐迷奔走购买酷玩乐队的第3张专辑时，专辑封面上的图案引起了人们极大的热情，乐迷们纷纷猜测个中含义。画面中描绘着各种不同颜色的方块，这些方块被排列成一个网格的形状。图中到底隐含着什么深意呢？原来，它是用一种最早出现的二进制码编写的专辑名称。这种二进制码是由法国工程师埃米尔·波德于1870年发明的。图画中的颜色并没有特别意义，重要的是，在这种密码中，方块代表数字1，缝隙则代表数字0。

0和1的组合是一种强大的信息编码方式，17世纪的德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨则是最早认识到这一点的一个人。他从中国的《易经》——探讨阴阳之间的动态平衡的书籍中得到这一灵感。《易经》包含64卦，用来代表不同的状态或过程，正是这些内容激发了莱布尼茨的灵感，从而创造出二进制的数学理论（我们在第3章讲述如何赢得Nim游戏时已经有所接触）。这些卦象由6根水平线条组成，这些线条或为连续的，或为断开的。《易经》解释了这些符号如何被应用在占卜中，人们可通过抽签或掷硬币的方式来决定每一卦的结构。

例如，如果算命者求得图4-12中这一卦，表示你将会起“冲突”。

图　4-12

但是，如果求得与此正好相反的图4-13中的这一卦，表示你有一种“深藏的智慧”。

图　4-13

更吸引莱布尼茨的则是一位11世纪的中国学者邵雍，他指出易经中的每一卦都对应着1个数字。如果用0来代表断开的线条，用1来代表连续线条的话，那么图4-12中的那一卦便可从上至下依次写为111010。在十进制数字中，每一位均对应一个10的幂数，而位于该位上的数字则表示共有多少个这样的10的幂数。比如，234即表示4个1，3个10和2个100。

不过，莱布尼茨和邵雍采用的都不是十进制，而是二进制，即每一位都代表一个2的幂数。在二进制中，数字111010代表的是0个1、1个2、0个4、1个8、1个16以及1个32。将所有这些数字求和，可得出2+8+16+32=58。二进制的美妙之处在于，我们只需两个符号便可表示所有的数字，而非像十进制那样要用到10个符号。2个（十进制的）16即进位到下一位，变成一个32。

莱布尼茨发现，将这种书写数字的方法应用在机动化地计算数字时，效果十分强大。二进制数字的求和规则十分简单。在每一位上，0+1=1、1+0=1、0+0=0；第四种可能则是1+1=0，并向左进一位1。举例来看，当我们把1000和111010相加在一起时，我们就会看到一种多米诺骨牌的效应，数字1轮番倒下：

1000+111010=10000+110010=100000+100010=1000000+000010=1000010

莱布尼茨设计出一些精妙的计算设备。其中一台以滚珠代表1，而以空代表0，从而将求和流程转换为一种奇妙的机械弹子游戏。莱布尼茨认为：“卓越的头脑不应像奴隶一样把大量时间耗费在计算上面，只要使用机器设备，这些工作完全可以放心无虞地交给他人去做。”我想大部分数学家都会赞同这个观点。(www.daowen.com)

图 4-14　莱布尼茨设计的二进制计算器的复制品

人们不仅开始用0和1的排列来表示数字，而且也开始用它来表示字母。尽管人们发现摩尔斯电码是一种十分强大的交流工具，但对机器来说，要弄清楚点划之间的微妙区别，识别一个字母的结束和下一个字母的开始并非容易的事情。

1874年，埃米尔·波德提出用5个一组的0、1组合来表示26个英文字母。通过把每个字母设定为相同的长度，上一个字母结束的位置和下一个字母开始的位置便一清二楚了。5个0和1的组合一共可以表示出2×2×2×2×2=32种不同字符。于是，在这套系统中，字母X变成了10111，字母Y则变成10101。这是一个巨大的突破，藉此，讯息便可编码在纸带上面。其中，打孔的部分表示1，未打孔的部分表示0。机器能够读取出纸带中的信息，然后将之以信号的形式通过电线传递出去，而另一端的电报打印机则自动把讯息打印出来。

波德码后来被众多其他同样使用0和1组合的编码形式所取代，这些编码呈现出方方面面的事物，从文本到声波，从图片到电影文件等等。每次你登录到iTunes并从中下载一首酷玩乐队的歌曲时，你的电脑就会接收到海量的数字0和1的组合，而且你的MP3播放器知道如何解码这些组合。这些数字组合的讯息在你的音箱或耳机中被转换为不同的振动方式，从而播放出克里斯·马丁的美妙声音。我们置身于数字时代，音乐已经成为数字0和1的洪流，或许正因如此，酷玩才决定在第3张专辑上采用上述那样的封面设计吧。

图 4-15　酷玩第三张专辑的封面所使用的波德码

波德的原初编码法则是破解该封面设计的关键所在。图4-15可分为4列，其中每一列都由5个方块组成。彩色方块可翻译为1，缝隙翻译为0。由于有时很难判定纸带中信息的正反顺序，因此，机器在打孔时会在上面2个方块和下面3个方块之间打出一条明确的分隔线。这就是封面设计上灰色方块和彩色方块之间有一条分割线的原因所在。

其中，第1列可读成彩色—空白—彩色—彩色—彩色，即10111，在波德码中表示字母X。最后一列是波德码中的字母Y。中间的两列更加有意思。我们知道，5个0和1的组合能够表示出32种符号，但我们需要的往往不止这32种，因为在交流的过程中，还会涉及数字、标点等其他符号。为满足这一需求，波德发明出一种巧妙的方法来扩充组合能表示的范围。就像键盘上的shift键能帮助我们输入一整套其他字符一样，波德也把其中的一组5个0和1的序列作为波德码中的shift键。因此，只要你遇到11011，你就会明白这串字符对应着另外一套扩展字符。

封面中的第2列即波德码中的shift键，因此要解读第3列中的空白—空白—空白—彩色—彩色，我们需要借助于下图中的扩展符号集。我想，大多数读者应该都以为这串字符代表的是符号&吧，但是，00011代表的并不是&，而是数字9。因此，酷玩乐队第3张专辑上的波德码名称实际上是X9Y，而非X&Y。难道乐队在给我们开玩笑吗？或许没有。在波德码中，数字9和符号&之间仅仅相差1个方块，这可能只是一个失误，但这一点也正好体现出这类编码存在的众多缺陷之一：当你操作失误时，我们往往很难辨别出其代表的符号。正是在不断检测像这样的错误中，编码数学才真正成为一门独立学科。

图 4-16　波德码