我依然清晰地记得第一次“看”到四维空间时的兴奋之情，通过学习一门语言，我才得以通过大脑想象出这些形状。通过使用勒奈·笛卡儿发明的形状与数字对应的“词典”，我们就有可能看到四维空间。笛卡儿认识到视觉世界往往很难准确定位，于是，他就想建立起一种简洁的数学方式来提供协助。

下列拼图（图2-35）表明，我们不能总是相信自己的眼睛。正如笛卡儿所说：“知觉即错觉。”

图 2-35　重新组合及其形状面积似乎少了一个方格

尽管第二幅图只是由第一幅重新组合而成的，但总面积似乎少了1个方格。这是怎么回事呢？原因就在于，虽然2个小三角形的斜边看似连成了一条直线，实际上两者的倾斜角度之间存在着细微的差别，这一细微差别足以使重组后的图形缺失掉1个方格的空间。

为解决这一感知问题，笛卡儿创建出一部能够将几何翻译为数字的强大词典，今天我们对它已经非常熟悉了。我们在地图上查看一个城镇的位置时，发现其位置是由定位格上的两个数字确定的。这些数字标出了南北和东西的坐标，而参照点则位于伦敦格林尼治天文台正南方的赤道上。

例如，笛卡儿出生在一个叫做La Haye en Touraine的法国城镇，该城镇日后改名为笛卡儿，其坐标为北纬47度，东经0.7度。在笛卡儿的词典中，他的家乡便可以用这个坐标来表示：(0.7,47)。(www.daowen.com)

我们可以用类似的过程来描述数学形状。例如，如果我想依照笛卡儿的坐标词典来描述1个方形的话，就说该形状包含4个顶点，其位置分别为(0,0)、(1,0)、(0,1)和(1,1)。每条边则分别对应着选择2个不同位置的顶点坐标。比如，其中1条边对应着坐标(0,1)和(1,1)。

在二维平面世界中，我们只需要两个坐标就能确定一个位置。但是，如果要加入海平面以上的高度数据，则需要引入第3个坐标。如果用坐标来描述1个三维立方体的话，也需要加入第3个坐标。一个立方体的8个顶点用坐标分别表示为(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)、(1,1,0)、(1,0,1)、(0,1,1)以及距离第1个顶点最远的那个顶点的坐标(1,1,1)。

同样地，1条边通常包含2个点，而且这两个点有仅且有一个坐标值不同。如果眼前摆放着一个立方体，我们很轻易就可以数出上面共有多少条边。但是，如果眼前没有实物的话，我们也可以数出仅有一个坐标不同的点对有多少个。上述内容请牢记心中，因为，接下来，我们就要探索一个无迹可寻的形状了。

在笛卡儿的词典中，一边是形状和几何，而另一边是数字和坐标。但问题是，当维度超过三维以后，视觉方面也枯竭了，因为世上并不存在一个我们能看到的更高维度的四维空间。笛卡儿词典的美妙之处则在于它的另一边的内容仍持续存在。要描述一个四维立体，我们只需增加第4个坐标即可，就像前面一路所做的那样。因此，尽管我无法真实打造出一个四维立方体，但借助于数字，我仍然可以对其进行准确的描述。这样一个四维立体包含16个顶点，由(0,0,0,0)起始，向(1,0,0,0)和(0,1,0,0)延伸，并一路抵达最远的(1,1,1,1)。这些数字便是描述这一形状的密码，有了这些密码，我们无需真正目睹它，便可对其进行分析和探索。

比如，上述的这个四维立方体中共有多少条边？我们知道，每条边都对应着2个点，而这2个点的坐标中的数字只有一个不同。每一个点由4条边交汇而成，其中每条边都对应一位坐标数字的更改。因此，四维立方体上总共有16×4条边。果真如此吗？其实这一计算并不正确，因为每条边都被我们算了2次：先从它的一个顶点算过去，之后又从另一个顶点算回来。因此，四维立方体的边的总数量应是16×4/2=32条。但四维仍然不是尽头。我们可以继续推进至五维、六维甚至更高维度，并创建出所有这些世界中的超立方体。比如，一个N 维空间中的超立方体将具有2^N 个顶点，而每一个顶点上都会连接着N 条边，考虑到每条边也被算进了两次，因此，N 维立方体的边数应为N ×2^N-1条。

数学赋予我们第六感，使我们能够考虑这些超出三维宇宙边界以外的形状。