任何试图写下所有质数的人都将陷入无休无止的书写之中，因为这些数字是无穷无尽的。我们为何会如此坚定地相信永远也不会出现最后一个质数呢？真的会一直有新质数在前面等着我们吗？对于该问题的回答代表了人脑最伟大的成就之一，那就是利用有限的逻辑步骤捕捉到无限。

首位证明质数无穷无尽的是一位生活在亚历山大港的希腊数学家欧几里得。他是柏拉图的学生，同样生活在公元前3世纪，他大概比图书管理员埃拉托斯特尼早出生50年左右。

为证明质数的无穷无尽，欧几里得首先反证，即是否可能只存在有限的质数。倘若如此的话，通过这些有限质数的彼此相乘必须能得到所有其他数字。比如，假设你认为列表上只存在三个质数：2、3和5。那么，是否通过这三个数字不同的乘积组合，能得出所有其他数字？欧几里得想出一种方法，可以找出无法被这三个质数捕捉到的数字。首先将三个数字相乘可得到数字30。然后在其基础上加上1（这正是欧几里得的天才之举）就得到数字31。那么列表中的所有数字2、3、5都无法被31整除，不论怎么除，最后都会得到余数1。(www.daowen.com)

欧几里得知道所有数字都可以通过质数之间的相乘而得出，那么31是怎么回事呢？由于它无法被2、3或5整除，因此一定存在其他不在列表上的质数创造出了31这个数字。实际上，31本身就是质数，欧几里得于是发现了一个“新”的质数。你可能会说我们直接把这个新的数字加入到列表中就万事大吉了。但是，即便如此，欧几里得又能以相同的方法再操作一次。不管质数表多么庞大，他都可以通过将列表中所有质数相乘再加上1而创建出一个新的数字，这个数字不管除以列表中哪个质数，最终都会得出余数1。因此，这一新的数字必须能够被不在列表上的质数整除。如此，欧几里得便证明出不存在一个能够包含所有质数的有限列表。因此，质数必然是无穷无尽的。

虽然欧几里得证明了质数的无穷无尽，但其中仍然存在一个问题——它并未指出这些质数的位置在哪儿。你或许认为他的方法给出了一种寻找新质数的方式。毕竟，当我们将2、3和5相乘后再加1，就得到了一个新质数31。但情况并非每每如此。例如，如果列表中包含质数2、3、5、7、11和13。将以上数字相乘后得到30030，再加1后得到数字30031。该数字无法被2至13中的任一质数整除，因为最终总会得到余数1。但它仍然不是一个质数，因为30031能被另外两个不在列表上的质数59和509整除。事实上，数学家至今仍不能判断，这种求一个有限质数列表乘积再加1的方法能否无限次地给出新的质数。