有七种 ^[1] 不同的哲学关系，即类似、同一、时间和空间关系、数量或数的比例、任何性质的程度、相反和因果关系。这些关系可以分为两类：一类完全决定于我们所比较的各个观念，一类是可以不经过观念的任何变化而变化的。我们是从一个三角形的观念、发现它的三个角等于两个直角的这样一种关系；只要我们的观念不变，这种关系也就不变。相反，两个物体间的接近和远隔的关系，可以仅仅由于它们的位置的改变而有所变化，并不需要对象自身或它们的观念有所变化；这种位置决定于心灵所不能预见的千百种不同的偶然事件。同一关系和因果关系也是一样。两个对象虽然完全类似，甚至在不同时间出现于同一位置，但是它们可以在数量上有所不同；至于一个对象产生另一个对象的那种能力既然决不能单是从它们的观念中发现出来的，因此，原因和结果显然是我们从经验中得来的关系，而不是由任何抽象的推理或思考得来的关系。没有任何一个现象——即使是最简单的——可以根据出现于我们面前的对象的性质而加以说明的，或者是我们可以不借着记忆和经验的帮助而预见的。

由此看来，七种哲学关系之中，只有四种完全决定于观念，能够成为知识和确实性的对象。这四种是类似、相反、性质的程度和数量或数的比例。这些关系中有三种是一看便可以发现出的，它们恰当地应该属于直观的范围，而不属于理证的范围。当任何一些对象互相类似时，这种类似关系首先就刺激眼睛，或者不如说是刺激心灵，很少需要再一次的考察。相反关系和任何性质的程度也是同样情形。没有人能够有一次怀疑，存在与不存在互相消灭，并且是完全不相容的和相反的。当任何性质如颜色、滋味、热、冷等的程度差异十分微小时，我们虽然不可能精确地加以判断，可是当它们的差异是巨大的时候，那就很容易决定它们中间某一种较另一种强些或弱些。无需任何研究或推理，我们一看就可以作出这个决定。

在确定数量或数的比例时，我们也可以照同一方式进行，并在一见之下就可以观察出任何数或形之间的较大或较小，尤其是当这种差异是很大而显著的时候。至于相等或任何精确的比例，我们从单独一次的考察只能加以猜测。很小的数和很有限的广袤部分是一个例外；这些是立刻可以了解的，而且我们在这里也觉察到自己不容易陷于任何重大的错误。在其他一切情形下，我们必然只能粗略地决定比例，或者必须在比较人为的方式下进行决定。

我已经说过，几何学或者说确定形的比例的那种技术，虽然就普遍性和精确性而论远远超过感官和想象的粗略判断，可是也永远达不到完全确切和精确的程度。几何学的最初原理仍然是由对象的一般现象得来的，而当我们考察自然所容许的极小的对象时，那种现象就绝不能对我们提供任何保证。我们的观念似乎给予我们一个完全的保证：没有两条直线能有一个共同的线段；但是我们如果考究这些观念，我们就会发现，它们总是假设着两条直线的一种可感知的倾斜度，而当它们所形成的角是极其微小的时候，我们便没有那样精确的一条直线标准，可以向我们保证这个定理的真实。数学中大多数的原始判断也都是同一情形。(www.daowen.com)

因此，就只剩下代数学和算术这两种仅有的科学，在这两门科学中，我们能够把推理连续地推进到任何复杂程度，而同时还保存着精确性和确实性。我们有一个精确标准，我们能根据它去判断一些数的相等和比例；按照数的是否和这个标准符合，我们确定它们的关系，而不至有任何错误的可能。当两个数是那样地结合起来，其中一个数所含的单位与另一个数所含的单位永远相应的时候，我们就断言那两个数是相等的，而几何学正是由于缺乏那样一个在广袤方面的相等标准，因此难以认为是一个完善和无误的科学。

我说，几何学虽然缺乏算术和代数学所特有的那种完全精确性和确实性，可是比起我们感官和想象的不完善的判断来，仍然是优越的。这种说法可能会引起一个困难，我们应该在这里把这个困难消释一下。我所以认为几何学有缺点，其理由在于它的原始的和基本的原理只是由现象得来的；有人或许会设想，这个缺点必然永远伴随着几何学，使几何学在比较它的对象或观念的时候，永远不能达到比我们的眼睛或想象单独所能达到的精确性更大的精确性。我承认这种缺点总是跟随着它，使它永远不能期望达到充分的确实性：但是由于这些基本的原理建立于最简易而最少欺骗性的现象上面，这些原理就给予它们的结论以一种精确程度，这种精确程度是这些结论单独地所不能达到的。人的眼睛不能断定千边形的角等于一九九六个直角，或作出任何和这个比例接近的推测；但是当它断定、几条直线不能相合和在两点之间我们不能画一条以上的直线时，它的错误决不会是很大的。这就是几何学的本性和功用：它使我们一直研究到那些现象，这些现象由于它们的简易性，不至于使我们陷于重大的错误。

我将利用机会在这里提出另外一个意见，这是关于理证性推理的一个意见，它是由这个同一的数学论题所提示出来的。数学家们惯于自称：作为他们对象的那些观念的本性，是非常细致的和精微的，它们不属于想象的概念范围，而必须借一种纯粹的和理智的观点才能了解，这种观点只有灵魂的高级官能可以胜任。同样的看法也贯穿于大多数的哲学部门，并且主要是用以说明我们的抽象观念，并指出我们如何能够形成例如一个既不是等腰、也不是不等边、各边也不限于某种特定长度和比例的三角形观念。不难看到，哲学家们为什么那样喜爱某些细致的和精微的知觉这个概念，因为他们借此就掩盖了他们的许多谬误，并可以通过采用模糊和不确定的观念而拒不服从清楚观念的判断。不过，为了打破这个诡计，我们只须回顾一下我们的全部观念都是由印象复现而来的那个我们所屡次坚持的原则。因为，我们由此就可以立刻推断说，我们的全部印象既然都是清楚的和确切的，所以由印象复现而来的观念也必然具有同一本性，如果不是由于我们的过失，决不能包含任何那样晦暗而繁复的东西。一个观念由于它的本性是比印象较为微弱而低沉的，但是因为在其他各方面都是与印象同一的，所以不能含有任何极大的神秘。如果观念的微弱使它成为模糊不清，我们就应该使观念保持稳定和精确，尽量去补救这个缺点。如果没有做到这一点，却妄谈什么推理和哲学，那是徒然的。