有限单群分类定理

有限单群是指除了单位元群和它本身以外没有其他正规子群的有限群，有限单群类似于整数中的素数，可比喻为搭成有限群的“积木块”，是有限群结构的基石。找出所有的有限单群的问题称为有限单群分类问题。

有限单群分类定理是在20世纪40年代初提出的。三四十年代之交，数学家开始利用所创造的模特征标理论来研究有限单群问题，在这期间，段学复随R. Brauer研究了阶含素数p仅为一次的群及其模特征标，1942年，他们一起完成了10000阶以下的单群分类。1945年合写了“论有限单群”的论文。1954年又证明了关于对合的中心化子的定理，即设τ是偶阶单群G的一个对合即二阶元素，CG（τ）是其中心化子。于是，从已知偶阶单群的对合的中心化子出发，最多构造出有限多个单群。可用这结果去发现和构造一些新单群，许多零散单群就是这样发现的；更重要的是可以用中心化子来刻画群的构造，用于单群分类，这一定理标志了单群分类的新起点。1962年，费特和汤普森关于奇阶群必为可解群的定理是单群分类中最重要的一个定理，它标志着有限单群分类的重大突破，也是第一篇长文章。汤普森在文中初步建立并运用了p局部子群分析法，其后于1968～1974年间，他在关于极小单群及更一般的单N群的分类定理的证明中，完善了p局部子群分析法。(www.daowen.com)

1972年，戈朗斯坦提出的有限单群分类方案或计划，指出了如何才能实现有限单群的完全分类。虽然这个计划在后来作了某些修改，但是此后美、英、德、日等国的群论学家自发地组织起来按计划去攻克这个大问题，终于以10年左右的时间取得了这项数学史上的重大的成果。