希尔伯特问题|20世纪数学的制高点|

在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是19世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。

这23个问题通称希尔伯特问题，已经成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，被认为是20世纪数学的制高点。

希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第问题是数学基础问题；第7到第12题是数论问题；第13到第18题属于代数和几何问题；第19到第23题属于数学分析。

（1）康托的连续统基数问题。1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科思证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。

（2）算术公理系统的无矛盾性。欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表文章对不完备性定理作出否定。根茨1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。

（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。问题的意思是：存在两个等高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等，德思1900年已解决。

（4）两点间以直线为距离最短线问题。此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获解决。

（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。这一个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年，由格里森、蒙哥马利、齐宾共同解决。1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。

（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。

（7）某些数的超越性的证明。需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么αβ一定是超越数或至少是无理数（例如，2和eπ）。苏联的盖尔封特1929年、德国的施奈德及西格尔1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前，确定所给的数是否是超越数，尚无统一的方法。

（8）素数分布问题，尤其针对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数问题。素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决，哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决，其最佳结果均属中国数学家陈景润。

（9）一般互反律在任意数域中的证明。1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷各自给予基本解决。而类域理论至今还在发展之中。

（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210~290，古希腊数学家）方程可解。1950年前后，美国数学家戴维斯、普特南、罗宾逊等取得关键性突破。1970年，巴克尔、费罗斯对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年，苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况下，答案是否定的。尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中有不少和计算机科学有密切联系。

（11）一般代数数域内的二次型论。德国数学家哈塞和西格尔在20世纪20年代获重要结果。20世纪60年代，法国数学家魏依取得了新进展。

（12）类域的构成问题。即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。(www.daowen.com)

（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。七次方程x⁷+ax³+bx²+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；x=x（a，b，c）。这一函数能否用两变量函数表示出来？此问题已接近解决。1957年，苏联数学家阿诺尔德（Arnold）证明了任一在[0，1]上连续的实函数f（x₁，x₂，x₃）可写成形式∑hi（ξi（x₁，x₂），x₃）（i=1，…，9），这里hi和ξi为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明f（x₁，x₂，x₃）可写成形式：h_i（ξ_i（x₁x₂），x₃）（i=1，…，7）这里h_i和ξ_i为连续实函数，ξ_ij的选取可与f完全无关。1964年，维土斯金（Vituskin）推广到连续可微情形，对解析函数情形则未解决。

（14）某些完备函数系的有限的证明。即域K上的以x₁，x₂，…，x_n为自变量的多项式f_i（i=1，…，m），R为K[X₁，…，X_m]上的有理函数F（X₁，…，X_m）构成的环，并且F（f₁，…，f_m）∈K[x₁，…，x_m]，试问R是否可由有限个元素F₁，…，F_N的多项式生成？这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。

（15）建立代数几何学的基础。荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年证明，魏依1950年已解决。一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给予严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分支曲线的最大数目。后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N（n）和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。对n=2（即二次系统）的情况，1934年福罗献尔得到N（2）≥1；1952年鲍廷得到N（2）≥3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N（2）≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦于1957年证明了（E2）不超过两串。1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n＝2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，3）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。

（17）半正定形式的平方和表示。实系数有理函数f（x₁，…，x_n）对任意数组（x₁，…，x_n）都恒大于或等于0，确定f是否都能写成有理函数的平方和？1927年阿廷已肯定地解决。

（18）用全等多面体构造空间。德国数学家比贝尔巴赫1910年，莱因哈特1928年作出部分解决。

（19）正则变分问题的解是否总是解析函数？德国数学家伯恩斯坦和苏联数学家彼德罗夫斯基已解决。

（20）研究一般边值问题。此问题进展迅速，已成为一个很大的数学分支，还在继续发展。

（21）具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅作出了出色贡献。

（22）用自守函数将解析函数单值化。此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其他方面尚未解决。

（23）发展变分学方法的研究。这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。

希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的相信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。

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国际数学家大会

国际数学家大会，简称ICM，是国际数学界四年一度的大集会。首次会议于1897年在瑞士苏黎世举行，当时只有200人左右参加。以后，除了第一、二次世界大战期间曾停顿外，一般是四年召开一次。国际数学家大会的议程安排由国际数学联合会指定的顾问委员会决定，邀请一批数学家分别在大会上作一小时的学术报告和学科组的分组会上作45分钟的学术报告。