回归数猜想|数字畅想曲|

有许多数具有这样一种有趣性质：它的十进制表示的各位数字，按照原顺序进行某些数学运算，又可以重新得到该数，这就是回归数，例如：24=23+ 42，2427=21+42+23+74，81=（8+1）2，145=1!+4!+5!（n!=1·2·…·n）。

英国大数学家哈代曾经发现过一种有趣的现象：

53=13+53+33371=33+73+13370=33+73+03407=43+03+73

他们都是三位数且等于各位数字的三次幂之和，这种巧合不能不令人感到惊讶。更为称奇的是，一位读者看过哈代的有趣发现后，竟然构造出其值等于各位数字四（五，六）次幂之和的四（五，六）位数：

1634=14+64+34+4454748=55+45+75+45+85548834=56+46+86+86+36+46

回归数猜想

像这种其值等于各位数字的n次幂之和的n位数，称为n位n次幂回归数本文只讨论这种回归数，故简称为回归数，人们自然要问：对于什么样的自然数n有回归数？这样的n是有限个还是无穷多个？对于已经给定的n，如果有回归数，那么有多少个回归数？

1986年美国的一位数学教师安东尼·迪拉那巧妙地证明了使n位数成为回归数的n只有有限个。

设Aⁿ是这样的回归数，即：

A_n=a₁a₂a₃…a_n=a₁ⁿ+a₂ⁿ+…+a_nⁿ（其中0≤a₁，a₂，…a_n≤9）

从而10^n-1≤A_n≤n₉ⁿ即n必须满足n₉ⁿ＞10_n-1也就是（10/9）ⁿ＜10n。

随着自然数n的不断增大，（10/9）n值的增加越来越快，很快就会使得（10/9）ⁿ＜10n式不成立，因此，满足（10/9）ⁿ＜10n的n不能无限增大，即n只能取有限多个。

进一步的计算表明：

（10/9）⁶⁰=556.4798…＜10×60=600（10/9）⁶¹=618.3109…＞10×61=610

哈　代

对于n≥61，便有（10/9）ⁿ＞10n

由此可知，使⑴式成立的自然数n≤60。故这种回归数最多是60位数。

迪拉那和他的学生们在1975年借助于哥伦比亚大学的计算机得到下列回归数：

一位回归数：1，2，3，4，5，6，7，8，9

二位回归数：不存在

三位回归数：153，370，371，407

四位回归数：1634，8208，9474

五位回归数：54748，92727，93084

六位回归数：548834

七位回归数：1741725，4210818，9800817

八位回归数：24678050，24678051(www.daowen.com)

但是此后对于哪一个自然数n（60）还有回归数？对于已经给定的n，能有多少个回归数？最大的回归数是多少？这些问题还需要我们的探索与研究。

下面是二十二位以内的回归数

3 153 370371407

4 163482089474

5 547489272793084

6 548834

7 1741725421081898008179926315

8 246780502467805188593477

9 146511208472335975534494836912985153

10 4679307774

11 8269391657844708635679942045919143216404965142678290603400283942253216404965049388550606（共有八解，是现在发现解最多的一组。）

12 无解

13 无解0564240140138（只有广义解一组）

14 28116440335967

15 无解

16 43382817693913714338281769391370

17 3564159420896413221897142587612075 35875699062250035 233411150132317（广义解）

18 无解

19 4498128791164624869 4929273885928088826 3289582984443187032 1517841543307505039

20 14543398311484532713 63105425988599693916

21 128468643043731391252 449177399146038697307

22 无解

数学链接 SHU XUE LIAN JIE

线性回归

线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，运用十分广泛。分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。