柯克曼女生问题探秘|数学史上的趣味难题|

19世纪50年代，英国数学家柯克曼提出了一个有趣的“女学生”问题。即在某地方的一所住宿学校中，有九个女学生同住在一间宿舍里，每天她们都要去校外散步一次。为了加强她们之间的相互了解和增进友谊，负责宿舍的管理人员想，她们散步时把她们分成三组，每组有三位同学，是否可以使每个女生在四天之内都能与其他的八名女生有且仅有一次在一组的机会。这个乍看起来很简单的问题，却使管理人员苦苦思索了很久。1851年他终于找到了一组分组的答案符合他的要求于是在名为《女士与先生的日记》的杂志上发表了相关文章。问题解决了，女生们也可以按照他的方案去校外散步了。后来人们把这种方案称为“柯克曼三元系”也称“柯克曼女生”问题。

柯克曼女生问题

其实在柯克曼女生问题提出后得到多种解答，其中较有代表性的答案是皮尔斯于1860年左右提出，并被数学家西尔威特认为是最好的解法。皮尔斯先假定一位女生固定在某一组，再将其他十四位女生编上号码(1至14号），并按照一定规律安排星期天的分组散步，则其他六天星期r散步(r=1，2，3，4，5，6）分组可按原编号与r的数字之和安排(和数超过14则减去14）。

柯克曼女生问题：数列

另外，有些数学家更将问题扩展成组合论中的难题：设有N个元素，每三个一组组成若干组。这些组分别组成一个系列，现称为“柯克曼序列”。若每一元素与其他元素恰有一次同组的机会，问将N分成这种序列要满足的充分必要条件是什么？怎样组成此序列？一般解答直到20世纪60年代后才有突破。中国数学家陆家羲对此曾作出过重要的贡献。陆家羲，中国现代数学家。1957年夏的一天，陆家羲购得一本孙泽瀛著的《数学方法趣引》。最吸引他的就是书中的“柯克曼女生”问题。22岁的陆家羲，一连好多天如醉如痴，他心中萌生出一个顽强的念头，一定要攻克这个问题．1961年他将凝聚着自己五年心血的处女作《寇克满系列与斯坦纳系列的构造方法》一文当作精神上的第一个孩子寄往中国科学院数学研究所，以期请教、肯定与发表。1965年他又重新改写了论文，取名《平衡不完全区组与可分解平衡不完全区组的构造方法》投寄给《数学学报》。但是这篇论文于1966年被退回，1981年《组合论杂志》陆续收到陆家羲题为《论不相交斯坦纳三元系大集》[18，19]的系列文章。西方的组合论专家们惊讶了，加拿大著名数学家、多伦多大学教授门德尔逊说：“这是二十多年来组合设计中的重大成就之一。”1983年9月30日，我国的组合数学专家们组成的“陆家羲学术工作评审委员会”在1984年9月15日所做的评价是：“……陆家羲同志独创地引进了AD、AD*、AD**、LD和LD*等辅助设计及有关大集LAD1、LAD2和LAD3，创造性地利用了前人的结果，巧妙地设计了一系列的递归构造，严谨地证明了互不相交的v阶斯坦纳三元系的大集，除了六个值外，对所有v≡1或3(mod6)，v＞7都存在，从而宣告了这一问题的整体解决(关于例外值，他已有腹稿，但在写作过程中便不幸逝世了，仅留下一份提纲和部分结果)。历史是公正的，不会把珍珠永远埋在土里，在陆家羲逝世四年之后的1987年，我国的组合数学专家们评审后认定：该文宣告了“柯克曼问题”的首次解决。当然，由于历史的原因，这一成就在数学界公认为是属于查德哈里和威尔逊的，因为他们于1971年最先公布了这一结果，这也是无可非议的。(www.daowen.com)

但凡问题大都和生活息息相关，也许你也可以从俗事中提出一个令人叹为观止的问题呢！

数学链接 SHU XUE LIAN JIE

皮尔斯

皮尔斯，美国科学家、逻辑学家与哲学家。出生于美国麻萨诸塞州剑桥，父亲班吉明·皮尔斯是数学家、天文学家。他就读哈佛大学，学成后在美国海岸防卫队担任科学家达30年之久。皮尔斯在科学界以几率论、重力研究、科学方法学逻辑上的贡献而闻名，最后放弃物理学而专研逻辑，更广义来说是研究符号学，致力于在逻辑完全概念建立永久的外展与归纳法。科学界公认他创立了实用主义。