莱默猜想|同余式解法|

莱默，20世纪美国著名数学家。莱默的贡献主要在数论领域，他也是一位计算数学家。他对卢卡斯函数、连分式、伯努利数与多项式、丢番图方程、数值方程、解析数论、模形式、筛法以及计算技术等都有研究。他曾解决过数论中的不少问题，如大整数的分解与是否素数的检验，并发现了伪平方数。他第一个用电子计算机对黎曼f函数的根进行了大规模计算，得到了临界线上前1万个零点，后又增加到2.5千个零点。

秦九韶《数书九章》

莱默猜想究竟如何呢？同余式MM′=1modp……其中p为奇素数，它的解的情形与性质，显然是使用中国剩余定理的一个重要问题。从《孙子算经》到秦九韶《数书九章》中对一次同余式问题的研究成果，在19世纪中期开始受到西方数学界的重视。1852年，英国传教士伟烈亚力向欧洲介绍了《孙子算经》的“物不知数”题和秦九韶的“大衍求一术”；1876年，德国人马蒂生指出，中国的这一解法与西方19世纪高斯《算术探究》中关于一次同余式组的解法完全一致。从此，中国古代数学的这一创造逐渐受到世界学者的瞩目，并在西方数学史著作中正式被称为“中国剩余定理”。

关于中国剩余定理的一次同余式解法还有一个“韩信点兵”的故事。韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝建立了卓绝的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从1至5报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。这个故事中所说的韩信点兵的计算方法，就是现在被称为“中国剩余定理”的一次同余式解法。它是中国古代数学家的一项重大创造，在世界数学史上具有重要的地位。

韩　信

这里说的同余式MM′=1（modb）……中的奇素数是指不能被2整除而且因数只有1和它本身的正整数。奇素数指的是奇数的质数。既是奇数，又是素数（质数）。比如3，5，7，11……除了2以外，所有的素数（质数）都是奇素数。设M=np+r，M′=n′p+r′，其中0＜r＜p，0＜r′＜p，则有MM′=rr′（modp），因此解同余式MM′=1（modp），只需考虑M与M′介于0与p之间的解。例如，p=13时，对应的解有（M，M′）=（1，1），（2，7），（3，9），（4，10），（5，8），（6，11），（7，2），（8，5），（9，3），（10，4），（11，6），（12，12）。其中（1，1）是显而易见的，无论p为何值，（1，1）都是（1）式的解，称为平凡解。(www.daowen.com)

人们更关心非平凡解的性质。非平凡解是矩阵代数中的定义，AX=0，行列式|A|~=0，则X有非平凡解，否则，只有平凡解X=0。因为任何线性空间的子空间都过零点，所以明显的等于0的时候解是成立的，但这显然没什么意义，说这个0解是平凡的，否则，就存在不平凡解了。

数学家莱默希望人们关注M与M′的奇偶性相反的解，将其解的个数记为Np。例如，N13=6，即（2，7），（5，8），（6，11），（7，2），（8，5），（11，6）。现在已经求出N3=0，N5=2，N7=0，N11=4，N13=6，N17=10，N19=4，N23=12，N29=18，N31=4。莱默由此归纳出：当p=4n-1时，Np能被4整除，即Np=0（mod4）；当p=4n+1时，Np被4除余2，即Np=2（mod4）。莱默不仅希望人们关注M与M′的奇偶性相反的解，更希望人们从此爱上数学，爱上科学。这一猜想是否正确，尚未得知。

数学链接 SHU XUE LIAN JIE

《数书九章》与中国剩余定理

《孙子算经》的“物不知数”题虽然开创了一次同余式研究的先河，但由于题目比较简单，甚至用试猜的方法也能求得，所以尚没有上升到一套完整的计算程序和理论的高度。真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的，是南宋时期的数学家秦九韶。秦九韶在他的《数书九章》中提出了一个数学方法“大衍求一术”，系统地论述了一次同余式组解法的基本原理和一般程序。我们可以从“物不知数”题的几个关键数字70、21、15中找到如下的规律：其中70是5和7的倍数，但被3除余1；21是3和7的倍数，但被5除余1；15是3和5的倍数，但被7除余1，任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。为此，秦九韶提出了乘率、定数、衍母、衍数等一系列数学概念，并详细叙述了“大衍求一术”的完整过程。（由于解法过于繁细，我们在这里就不展开叙述了，有兴趣的读者可进一步参阅有关书籍。）直到此时，由《孙子算经》“物不知数”题开创的一次同余式问题，才真正得到了一个普遍的解法，才真正上升到了“中国剩余定理”的高度。