卡迈克猜想|谜一样的数字|

卡迈克猜想是美国数学家卡迈克研究极端伪素数提出的，这种猜想应追溯到皮埃尔·德·费马1636年发现的费马小定理。在一封1640年10月18日的信中费马第一次使用了上面的书写方式。在信中他还提出a是一个质数的要求，但是这个要求实际上是不存在的。

与费马小定理相关的有一个中国猜想，这个猜想是中国数学家提出来的，其内容为：当且仅当2^（p-1）≡1（modp），p是一个质数。假如p是一个质数的话，则2^（p-1）≡1（modp）成立（这是费马小定理的一个特殊情况）是对的。但反过来，假如2^（p-1）≡1（modp）成立那么p是一个质数是不成立的（比如341符合上述条件但不是一个质数）。因此整个来说这个猜想是错误的。一般认为中国数学家在费马前2000年的时候就已经认识中国猜测了，但也有人认为实际上中国猜测是1872年提出的，认为它早就为人所知是出于一个误解。

素数分布

众所周知，费马小定理的逆定理是不成立的，1819年，法国数学家沙路斯发现，虽然341整除2×341-2，但341是合数，341＝11×31。这一反例表明费马小定理的逆定理不成立。1830年，一位匿名德国数学家指出更一般的构造反例的方法，他指出，只要能找到两个奇素数p和q，使它们的积pq能同时整除2p-1-1与2q-1-1，那么就可得到pq整除2pq-1-1。按此方法，人们发现除341外，还有561，645，1105，1389，1729，1905等也具有上述性质。于是，人们把能整除2n-2的合数n称为伪素数。1926年，普列特制成5000万以内的伪素数表，1938年他又推进上限到1亿，为此，有时伪素数亦被称为普列特数。

提出伪素数后自然就产生了类似素数的问题，并得到人们的研究。如伪素数有多少个？人们指出，伪素数有无穷多，1903年麦洛用一个构造性方法对此加以证明。他证明了，若n是奇伪素数，那么，n=2n-1－1也是奇伪素数，我们已知有奇伪素数n₀=341，按此法就可以构造出无穷多的奇伪素数来。再如是否存在偶伪素数？1950年，美国数学家莱默尔找到了第一个偶伪素数161038，161038＝2×73×1103，73|（2161038-2），1103|（216038-2）。1951年，荷兰的毕格尔又找到了一个偶伪素数，并证明了存在无穷多个偶伪素数。

人们自然会想到，如果n能够整除一切形如a^（n-1）-1（a与n互素）的数，则n总该是素数。结果并不如此简单，竟然有这样的数n，它能整除所有的a^（n-1）-1（a与n互素）。这种极端的伪素数就称为卡迈克数，因为美国数学家卡迈克首先研究了这种极端伪素数，他发现561能整除一切a^（n-1）-1（a与n互素）的数，但是561=3×11×17，卡迈克还得出了一个判定卡迈克数的定则：（1）n不包含平方因数；（2）n是奇数，至少含有三个不同的素因数；（3）对于n的每一个素因数，n-1能被p-1整除。例如，8911=7×19×67，显然满足条件（1）、（2），7-1=6、19-1=18、67-1=66都能整除8911-1=8910，即满足条件（3），故8911是卡迈克数。1939年，数学家切尼克给出了一种构造卡迈克数的方法：设m为自然数，且使得（6m+1），（12m+1），（18m+1）都是素数，则M3（m）=（6m+1）（12m+1）（18m+1）是具有3个素因子的卡迈克尔数。例如：取m=1，则有M3（1）=7×13×19=1729是卡迈克数，类似地，自然数m是使得M_k（m）=（6m+1）（12m+1）（9×2m+1）…（9×2k-2m+1）（k＞=4）中k个因子都是素数，则Mk（m）是含有k个素数因子的卡迈克尔数。1985年，杜伯纳得到了下面一些巨大的卡迈克数：m=5×7×11×13×…×397×882603×10185时的含有3个素数因子的卡迈克数M3（m）是一个1057位数，这是目前知道的最大的卡迈克数。其他的还有：

m=323323×655899×1040/6时的M4（m）是个207位数的卡迈克数；

m=323323×426135×1016/6时的M5（m）是个139位数的卡迈克数；

m=323323×239556×107/6时的M6（m）是个112位数的卡迈克数；

m=323323×160×8033时的M7（m）是个93位数的卡迈克数。

1978年，约里纳戈发现了8个卡迈克数，它们都具有13个素数因子，这是目前所知道的含有素数因子最多的一组卡迈克数。下表是目前所知道的小于x的以2为底的伪素数个数P（x）与卡迈克数的个数C（x）的分布情况。

x　　　　　　P（x）　　　C（x）

1000　　　　　8　　　　　　1

10000　　　　 22　　　　　 7(www.daowen.com)

100000　　　　78　　　　　 16

1000000　　　 245　　　　　43

10000000　　　750　　　　　105

100000000　　 2057　　　　 255

1000000000　　5597　　　　 646

10000000000　 14887　　　　1547

不超过100000的16个卡迈克数如下：

561，1105，1729，2465，2821，6601，8911，10585，15841，29341，41041，46657，52633，62745，63973，75361。

一直困惑人们的问题是：（1）如前述，以a为底的伪素数有无穷多，但同时以两个不同正整数a，b为底的伪素数是否也有无穷多？尚不知晓，甚至连a=2，b=3的特殊情形也没有解决。（2）卡迈克数是否有无穷多个？这就是有关卡迈克数的猜想。

谜一样的数字引发了人们思考，它的未来与求证急切地需要你的参与。

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伪素数及其发现

伪素数是指若n能整除2^（n-1）-1，并且n是非偶数的合数，那么n就是伪素数。伪素数，又叫做伪质数：它满足费马小定理，但其本身却不是素数。最小的伪素数是341。有人已经证明了伪素数的个数是无穷的。事实上，费马小定理给出的是关于素数判定的必要非充分条件。

1819年，萨鲁斯发现第一个伪素数341。1903年，马洛证明：若n为伪素数，则＜math＞m=2^（n-1）-1＜/math＞也是一个伪素数，从而肯定了伪素数的个数是无穷的。1950年，发现第一个偶伪素数161038＝2×73×1103。1951年，皮格证明了存在无限多个偶伪素数。