孪生素数猜想|现代素数理论中的中心问题之一|

1849年，波林那克提出孪生素数猜想，即猜测存在无穷多对孪生素数。孪生素数是指一对素数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孪生素数。孪生素数猜想，即是否存在无穷多对孪生素数，是数论中未解决的一个重要问题。哈代—李特尔伍德猜想是孪生素数猜想的一个增强形式，猜测孪生素数的分布与素数定理中描述的素数分布规律相类似。

孪生素数是有限个还是有无穷多个？这是一个至今都未解决的数学难题，一直吸引着众多的数学家孜孜以求地钻研。早在20世纪初，德国数学家兰道就推测孪生素数有无穷多，许多迹象也越来越支持这个猜想，最先想到的方法是使用欧拉在证明素数有无穷多个所采取的方法，设所有的素数的倒数和为：

S=1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+…

如果素数是有限个，那么这个倒数和自然是有限数。但是欧拉证明了这个和是发散的，即是无穷大，由此说明素数有无穷多个。1919年，挪威数学家布隆仿照欧拉的方法，求所有孪生素数的倒数和：

B=（1/3+1/5）+（1/5+1/7）+（1/11+1/13）+…

如果也能证明这个和比任何数都大，就证明了孪生素数有无穷多个了。这个想法很好，可是事实却违背了布隆的意愿。他证明了这个倒数和是一个有限数，现在这个常数就被称为布隆常数：B=1.90216054…布隆还发现，对于任何一个给定的整数m，都可以找到m个相邻素数，其中没有一个孪生素数。

孪生素数有一个十分精确的普遍公式，是根据一个定理:“若自然数Q与Q+2都不能被不大于根号（Q+2）的任何素数整除，则Q与Q+2是一对素数，称为相差2的孪生素数。这一句话可以用公式表达：

Q=p₁m₁+b₁=p₂m₂+b₂=…=p_km_k+b_k（1）

其中p₁，p₂，…，p_k表示顺序素数2，3，5，…。b≠0，b≠p_i-2。（即最小剩余不能是0和p_i-2。不能是2m，3m，5m，…，p_km形，不能是3m+1，5m+3，7m+5，…，p_km-2形）。若Q〈P_（k+1）平方减2。〉[注：（k+1）是脚标]，则Q与Q+2是一对孪生素数。

例如，29，29和29+2不能被不大于根号（29+2）的任何素数2，3，5整除，29=2m+1=3m+2=5m+4，29〈49-2（即7的平方减2）〉所以29与29+2是一对孪生素数。

上式可以用同余式组表示：

Q≡b₁（modp1），Q≡b₂（modp2），…，Q≡b_k（modp_k）。

（2）

由于（2）式的模p₁，p₂，…，p_k两两互素，根据孙子（中国剩余）定理，对于给定的b值，（2）式在p₁p₂…p_k范围内有唯一的解。例如29，29≡1（mod2），29≡2（mod3），29≡4（mod5）。29小于7的平方减2，即49-2。所以29是一个素数。29在2×3×5=30范围内有唯一解。

例如，k=1时，Q=2m+1，解得Q=3和5，5〈3的平方减2，得知3与3+2，5与5+2是两对孪生素数。从而得到了3至3的平方区间的全部孪生素数。k=2时，Q=2m+1=3m+2。解得Q=5，11，17。17〈5的平方减2，得知11与11+2，17与17+2是孪生素数对，从而得到5至5的平方区间的全部孪生素数。

k=3时，

|-5m+1-|-5m+2-|-5m+4-|

……

Q=2m+1=3m+2

=|-11-，-41-；|-17-|-29-|

……

从而求得了7至7的平方区间的全部孪生素数对。

k=4，时，解得：

|-7m+1-|-7m+2-|-7m+3-|-7m+4-|-7m+6-|

Q=2m+1=3m+2=5m+1

=|-71-|-191-|-101-|-11|-41-|

Q=2m+1=3m+2=5m+2

=|-197-|-107-|-17-|-137-|-167-|

Q=2m+1=3m+2=5m+4

=|-29-|-149-|-59-|-179-|-209-|

……(www.daowen.com)

求得了11至11平方区间的全部解。仿此下去，可以求得任意给定的数以内的全部孪生素数，并且一个不漏地得到。注意，在k≥4时，利用表格，我们不需要通过计算，或者埃拉托塞尼筛法求得解，而是只要填写即可。表格的数字十分有规律。人类已经不依赖埃氏筛。可以通过组装或者克隆素数。这对大数密码是一个强烈的冲击。

由于b≠0，（1）、（2）式的本质就是从p₁，p₂p₃…p_k中筛去p₁m，p₂m，…，p_km形的数k次；由于b≠p_i-2，（1）、（2）式是从p1p2p3…pk中筛去p1m-2，p2m-2，p3m-2，…，pkm-2形的数k次，共筛2k次。

孪生素数猜想就是要证明（1）式或者（2）式在k值任意大时都有小于p（k+1）平方减2的解。利用（1）（2）式证明孪生素数猜想变得十分容易，希尔伯特等数学家都是这样认为的。

根据孙子定理得知，（1）、（2）式在p₁，p₂p₃…p_k范围内有：

（2-1）×（3-2）×（5-2）×…×（p_k-2）。（3）个解。（p后面的1，2，3，…，k是脚标）。

孪生素数的筛法就是在埃拉托塞尼的筛后再筛去pm-2型的数。

1966年，中国数学家陈景润在这方面得到最好的结果：存在无穷多个素数p，使p+2是不超过两个素数之积。

若用p（x）表示小于x的孪生素数对的个数.下表是1011以下的孪生素数分布情况:

x　　　　　　p（x）

1000　　　　　35

10000　　　　 205

100000　　　　1224

1000000　　　 8169

10000000　　　58980

100000000　　 440312

1000000000　　3424506

10000000000　 27412679

100000000000　224376048

p（x）与x之间的关系是什么样的呢？1922年，英国数学家哈代和李特伍德提出一个数分布的猜想：

p（x）≈2cx/（lnx）2

其中常数c=（1-1/22）（1-1/42）（1-1/62）（1-1/102）…

即，对于每一个素数p，计算（1-1/（p-1）2），再相乘。经过计算得知c≈0.66016称为孪生素数常数，这个猜想如上所述有可能是正确的，但是至今也未获证明。

证明孪生素数猜想的另一类结果是估算性的，这类结果估算的是相邻素数之间的最小间隔，更确切地说是：

Δ:=limn→∞inf[（p_n+1-p_n）/ln（p_n）]

这个表达式定义的是两个相邻素数之间的间隔与其中较小的那个素数的对数值之比在整个素数集合中所取的最小值。很显然孪生素数猜想如果成立，那么Δ必须等于0，因为孪生素数猜想表明p_n+1-p_n=2对无穷多个n成立，而ln（p_n）→∞，因此两者之比的最小值对于孪生素数集合（从而对于整个素数集合也）趋于零。不过要注意Δ=0只是孪生素数猜想成立的必要条件，而不是充分条件。换句话说如果能证明Δ≠0则孪生素数猜想就不成立，但证明Δ=0却并不意味着孪生素数猜想就一定成立。

对于Δ最简单的估算来自于素数定理。按照素数定理，对于足够大的x，在x附近素数出现的概率为1/ln（x），这表明素数之间的平均间隔为ln（x）（这也正是Δ的表达式中出现ln（p_n）的原因），从而（p_n+1-p_n）/ln（p_n）给出的其实是相邻素数之间的间隔与平均间隔的比值，其平均值显然为1。平均值为1，最小值显然是小于等于1，因此素数定理给出Δ≤1。

“孪生素数猜想”与著名的“哥德巴赫猜想”是姐妹问题，它也是现代素数理论中的中心问题之一，谁能解决它（不论是证明或否定），必将成为名扬千古的历史人物。

数学链接 SHU XUE LIAN JIE

回文素数

回文素数是一个既是素数又是回文数的整数。回文素数是非常有意思的素数,最小的是131，还有孪生素数151，181，191，313，353，373，383，757，787，797等等。回文素数与记数系统的进位制有关。目前还不知道在十进制中是否有无穷多个回文素数。