角谷猜想|神妙的奇偶归一|

“角谷猜想”又称“奇偶归一猜想”，或“3n+1猜想”、“考拉兹猜想”、“哈塞猜想”、“乌拉姆猜想”或“叙拉古猜想”。它首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫做“角谷猜想”。其实，叫它“奇偶归一猜想”更形象，也更恰当。

为什么叫它“奇偶归一猜想”呢？意思是，它算来算去，数字上上下下，最后一下子回归到最小正整数，变成一个数字：“1”。

这个数学猜想的通俗说法是这样的：

任意给一个自然数N，如果它是偶数，就将它除以2，如果它是奇数，则对它乘3再加1，即将它变成对任意的一个自然数施行这种演算手续，经有限步骤后，最后结果必然是最小的自然数1。

对这个猜想，你不妨任意挑几个数来试一试：

若N=9，则9×3+1=28，28÷2=14，14÷2=7，7×3+1=22，22÷2=11，11×3+1=34，34÷2=17，17×3+1=52，52÷2=26，26÷2=13，13×3+1=40，40÷2=20，20÷2=10，10÷2=5，5×3+1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1。

你看，经过19个回合（这叫“路径长度”），最后变成了“1”。

角谷猜想

若N=120，则120÷2=60，60÷2=30，30÷2=15，15×3+1=46，46÷2=23，23×3+1=70，70÷2=35，35×3+1=106，106÷2=53，53×3+1=160，160÷2=80，80÷2=40，40÷2=20，20÷2=10，10÷2=5，5×3+1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1。

你看，经过20个回合，最后也仍然变成了“1”。

有一点更值得注意，假如N是2的正整数方幂，则不论这个数字多么庞大，它将“一落千丈”，很快地跌落到1。例如：

N=65536=2¹⁶

则有：65536→32768→16384→8192→4096→2048→1024→512→256→128→64→32→16→8→4→2→1。

你看，它的路径长度为16，比9的还要小些。

我们说“1”是变化的最终结果，其实不过是一种方便的说法。严格地讲，应当是它最后进入了“1→4→2→1”的循环圈。

这一结果如此奇异，是令人难以置信的。曾经有人拿各种各样的数字来试，但迄今为止，总是发现它们最后都无一例外地进入“1→4→2→1”这个死循环。已经验证的最大数目，已达到1099511627776。

由于数学这门科学的特点，尽管有了如此众多的实例，甚至再试验下去，达到更大的数目，但我们仍不能认为“角谷猜想”已经获得证明，因此还只能称它为一个猜想。可想而知，要证明它或推翻它，都是很不容易的，要设法说出它的实质，也似乎是难上加难。

不仅如此，对于“角谷猜想”，人们在研究过程中或作出了改动，或进行了推广，得出的结果同样富有奇趣。比如，对于“角谷猜想”若作如下更动：

学者盖伊

任给一个自然数，若它是偶数，则将它除以2；若它是奇数，则将它乘以3再减1。……如此下去，经过有限次步骤运算后，它的结果必然毫无例外地进入以下三个死循环：

①1→2→1；②5→14→7→20→10→5；(www.daowen.com)

③17→50→25→74→37→110→55→164→82→41→122→61→182→91→272→136→68→34→17。

角谷猜想的一个推广是克拉茨问题。

角谷猜想的“1→4→2→1”循环实际上是进行下列函数的迭代

{x/2（x是偶数）

C（x）=3x+1（x是奇数）

问题是，从任意一个自然数开始，经过有限次函数C迭代，能否最终得到循环（4，2，1），或者等价地说，最终得到1。据说克拉茨在1950年召开的一次国际数学家大会上谈起过，因而许多人称之为克拉茨问题。但是后来也有许多人独立地发现过同一个问题，所以，从此以后也许为了避免引起问题的归属争议，许多文献称之为3x+1问题。

克拉茨问题吸引人之处在于C迭代过程中一旦出现2的幂，问题就解决了，而2的幂有无穷多个，人们认为只要迭代过程持续足够长，必定会碰到一个2的幂使问题以肯定形式得到解决。正是这种信念使得问题每到一处，便在那里掀起一股“3x+1问题”狂热，不论是大学还是研究机构都不同程度地卷入这一问题。然而大家都未发现反例。题意如此清晰，明了，简单，连小学生都能看懂的问题，却难倒了20世纪许多大数学家。著名学者盖伊在介绍这一世界难题的时候，竟然冠以“不要试图去解决这些问题”为标题。

经过几十年的探索与研究，人们似乎接受了大数学家厄特希的说法:“数学还没有成熟到足以解决这样的问题!”

数学链接 SHU XUE LIAN JIE

负数克拉茨

人们在对自然数进行C迭代研究的同时，又想到:如果迭代在整数集上进行，其结果又会如何呢？

当x为正整数时，如前所述出现循环（4，2，1）

当x=0，出现循环（0）

当x=-1，-2，-3，-4时，最终出现循环（-1，-2）。

当x=-5，出现循环（-5，-14，-7，-20，-10）。

当x=-6，-7，…，-16时，最终出现循环（-1，-2），（-5，-14，-7，-20，-10）

当x=-17，出现循环

（-17，-50，-25，-74，-37，-110，-55，-164，-82，-41，-122，-61，-182，-91，-272，-136，-68，-34）

对x＜-17的数进行迭代，再未出现新的循环，于是，人们猜想:

如果对全体整数进行C迭代，只能出现上述5个循环。

人们已经对|x|＜108的负整数x进行了验算，证明猜想是正确的，但并没有得到一般情形的证明。