费马数猜想|科学是永无止境的探索|

费马数最先由费马提出，让我们先从费马说起。

费马，最初从事律师职业，空闲时间钻研数学。时间的多少并不能决定成绩的大小。虽然费马从三十岁才开始认真研究数学，但是他取得的成绩不亚于一流的数学大师。他在几何学、概率论、微积分和数论等众多数学领域里都留下了自己的足迹，尤其在数论方面，奠定了近代数论的基础，被称为“近代数论之父”。

在数学的研究中，费马发现：

F₀=+1=3

F₁=+1=5

F₂=+1=17

F₃=+1=257

F₄=+1=65537

费马邮票

F₅=+1=4294967297

F₆=+1=274177×67280421310721

F₇=+1=59649589127497217×5704689200685129054721

F8=+1=1238926361552897×34616397153579777691635581996068 96584051237541638188580280321

F₉=+1=2424833×74556028256478842083373957362004 54918783366342657×74164006262753080152478714190193 74740599407810975190239058213161 44415759504705008092818711693940 737

当n取0、1、2、3、4时，式子+1对应的值（3、5、17、257、65537）都是素数。于是费马认为形如+ 1的数都是素数，但是费马没有找到证明的方法。这个猜测就是费马数猜想，并用F_n表示费马数。

费马数猜想是否正确呢？在没有找到推理方法之前，任何人都不能轻易下结论。费马没有证明就凭直觉作出判断，是否太轻率呢？但是不管怎样，费马数的研究还是吸引了很多人。(www.daowen.com)

1732年，即费马死后67年，25岁的欧拉证明了F₅是一个合数，从而说明费马的结论是不正确的。此后人们对更多的费马数进行了研究。6年后，卢卡斯改进了欧拉的成果。

这一结论奠定了人们寻找大的费马合数的理论基础。20世纪初，莫瑞汉德与韦斯坦证明F₇是合数。接着，这两位数学家利用同样的方法证明F₈是合数。20世纪70年代后期，威廉姆找到F₃₃₁₀的一个因子：5×3313+1，从而证明它是合数。20世纪80年代初，人们找到F₉₉₄₈的一个因子：19×29450+1，从而证明它是合数……

费　马

随着电子计算机的发展，计算机成为数学家研究费马数的有力工具。但是，在所知的费马数中竟然没有再添加一个费马素数。迄今为止，费马素数除了被费马本人所证实的那五个外竟然没有再发现一个！如果再不可能发现费马素数，那么费马的猜测将是多么荒唐，费马真的错了吗？

18世纪末，19岁的高斯宣布他发现了正十七边形的尺规作图方法，这个发现不仅震惊了数学界，也给费马数的证明带来了希望。高斯继续研究得出了如下结论：具有素数p条边的正多边形可用尺规作图的必要条件是p为费马数。由于我们现在得到的费马素数只有前五个费马数，那么可用尺规作图完成的正素数边形就只有3、5、17、257、65537。简单地说，能作出奇数边的正多边形数都是这五个费马数的组合。

“数学王子”高斯的结论对费马数的研究产生了历史性突破。此后，人们对费马数的证明重新燃起了兴趣。

借助计算机的帮助，人们得出费马数的许多新发现。如今，人们找到了具有746190位数的费马素因子：3×22478785+1，由此人们得到了截至目前最大的费马合数F_2478782。2003年11月1日，有研究成果宣布：一个新的费马素因子1054057×28300+1被发现，这同时意味着又一个费马合数F₈₂₉₃的产生。

正十七边形

当然，费马数的研究还在继续。

数学链接 SHU XUE LIAN JIE

正十七边形的尺规作法

步骤一：给一圆O，作两垂直的直径OA、OB，作C点使OC＝1/4OB，作D点使∠OCD＝1/4∠OCA，作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度。

步骤二：作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G₄和G₆两点。

步骤三：过G₄作OA垂直线交圆O于P₄，过G₆作OA垂直线交圆O于P₆，则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P₄为第四顶点，P₆为第六顶点。

以1/2弧P₄P₆为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。