黎曼猜想|“世界七大数学难题”之一|

黎曼猜想，20世纪数学家所面对的一个重要难题。2000年，美国克莱数学研究所开出100万美元的高额奖金悬赏破解，将黎曼假设列为“世界七大数学难题”之一。黎曼猜想的提出者黎曼所创立的几何学成了现代宇宙论描述宇宙结构的重要数学工具，而黎曼猜想指数论的根本命题，使得其他简单而又深刻的数论之谜显得不那么重要。

黎曼猜想

几千年前人类就已知道2，3，5，7，31，59，97这些正整数。除了1及本身之外就没有其他因子，他们称这些数为素数，希腊数学家欧几里得证明了在正整数集合里有无穷多的素数。它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式。然而，在证明素数定理的过程中，德国数学家黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res（s）=1/2上。也就是说，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z（s）的性态。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。著名的黎曼假设断言，方程z（s）=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1500000000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立，将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

黎曼是黎曼几何的创始人。他生在现在德国汉诺瓦一个小乡村（当时属于大英帝国）的清教徒家庭，他父亲是当地的牧师。他在读博士学位期间，研究的是复变函数。他把通常的函数概念推广到多值函数，并引进了多叶黎曼曲面的直观概念。他的博士论文受到了高斯的赞扬，也是他此后十年工作的基础，包括复变函数在Abel积分和theta函数中的应用，函数的三角级数表示，微分几何基础等。

黎曼猜想，首先由数学家波恩哈德·黎曼在1859年提出，是数学中一个最著名和最重要而又未解决的问题。一个世纪以来它仍未被解答，吸引着很多出色数学家为它苦恼。对比业余数学家，它对专业数学家更具吸引力。黎曼猜想（RH）是关于黎曼ζ函数ζ（s）的根分布的猜想。黎曼ζ函数在任何复数s≠1上也有定义。它在负偶数上也有零（i.e.当s=-2，s=-4，s=-6，…），这些也是“平凡零点”。黎曼猜想关心的，是非平凡零点，黎曼ζ函数非平凡零点的实数部分也是1/2，所以非平凡零点都应该位于直线1/2+it上，t为一实数而i为虚数基本单位。沿临界线的黎曼ζ函数有时通过Z-函数进行研究，它的实零点对应于ζ函数在临界线上的零点。

荷兰三位数学家利用电子计算机来检验黎曼的假设，他们对最初的二亿个齐打函数的零点检验，证明黎曼的假设是对的，他们在1981年宣布他们的结果，目前他们还继续用电子计算机检验底下的一些零点。在1982年11月苏联数学家马帝叶雪维奇在苏联杂志上宣布，他利用电脑检验一个与黎曼猜想有关的数学问题，可以证明该问题是正确的，从而反过来可以支持黎曼的猜想很可能是正确的。

这个简单的特殊函数在数学上有重大意义，正因为如此，黎曼猜想总是被当成数一数二的重要猜想。在这个猜想上稍有突破，就有不少重大成果。200年前高斯提出的素数定理就是在100年前由于黎曼猜想的一个重大突破而证明的。当时只是证明复零点都在临界线附近，如果黎曼猜想被完全证明，整个解析数论将取得全面进展。黎曼猜想是当代数学其中一个最重要而又未解决的问题，主要因为很多深入和重要的结果能在它成立的大前提下被证明。大部分数学家也相信黎曼猜想是正确的，约翰·恩瑟·李特尔伍德与塞尔伯格曾提出怀疑。塞尔伯格在晚年时降低了他的怀疑，他在1989年的一篇论文中猜测黎曼猜想对更广的一类函数也应当成立。(www.daowen.com)

黎曼猜想

也许，有一天我们会发现我们永远也解决不了这个猜想，因为这是宇宙的最后防线，但我们不会放弃。在哥德尔定理面前，希尔伯特的名言“我们必将知道”显得十分苍白，但它可以作为我们人类的本性继续指引我们去探索。当代数学最高端的东西仍然是纯粹数学，它正如一开始的数论那样“最清白、最无辜”（英国数学家）。尽管我们有了信仰，一切无用的数学最后终将“有用”，但这不是我们的追求，它是人类尊严的体现，有时候，是我们面对宇宙时可以引以为豪的唯一的东西。

黎曼假设

更重要的是，在代数数论、代数几何、微分几何、动力系统理论等学科中都引入各种函数和它们的推广函数，它们各有相应的“黎曼猜想”，其中有的黎曼猜想已经得到证明，使得该分支获得突破性的进展。专家指出，黎曼假设一旦被攻克，将对加密学有帮助。其余的难题一旦破解，将会给航天、物理等领域带来突破性进展，并开辟全新的数学研究领域。

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欧氏几何

欧氏几何是欧几里得几何学的简称，其创始人是公元前三世纪的古希腊伟大数学家欧几里得。在他以前，古希腊人已经积累了大量的几何知识，并开始用逻辑推理的方法去证明一些几何命题的结论。欧几里得这位伟大的几何建筑师在前人准备的“木石砖瓦”材料的基础上，天才般地按照逻辑系统把几何命题整理起来，建成了一座巍峨的几何大厦，完成了数学史上的光辉著作《几何原本》。这本书的问世，标志着欧氏几何学的建立。这部科学著作是发行最广而且使用时间最长的书。后又被译成多种文字，共有2000多种版本。它的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑。两千多年来，这部著作在几何教学中一直占据着统治地位，至今其地位也没有被动摇，包括我国在内的许多国家仍以它为基础作为几何教材。