庞加莱猜想|从高维到三维的逆向证明|

庞加莱猜想是21世纪七大数学难题之一，困扰了数学家整整一个世纪。

庞加莱出生于法国，被誉为“最后一位数学全才”。他的研究和贡献涉及数学的各个分支，例如函数论、代数拓扑学、数论、代数学、微分方程、数学基础、非欧几何、渐近级数、概率论等，当代数学不少研究课题都溯源于他的工作。

20世纪初，庞加莱在一组论文中提出这样的猜想：“单连通的三维闭流形同胚于三维球面。”它后来被推广为：“任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面。”我们不妨借助二维的例子做一个粗浅的比喻：一个无孔的橡胶膜相当于拓扑学中的二维闭曲面，而一个吹胀的气球则可以视为二维球面，二者之间的点存在着一一对应的关系，同时橡胶膜上相邻的点仍是吹胀气球上相邻的点，反之亦然。有趣的是，这一猜想的高维推论已于20世纪60年代和80年代分别得到解决，唯独三维的情况仍然像只拦路虎一样趴在那里，向世界上最优秀的拓扑学家发出挑战。任何一个封闭的三维空间，只要它里面所有封闭曲线都可以收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球——这就是庞加莱猜想。

庞加莱猜想

20世纪30年代以前，对庞加莱猜想的研究只有零星几项。但英国数学家怀特海对这个问题产生了浓厚兴趣。他一度声称自己完成了证明，但不久就撤回了论文。失之桑榆，收之东隅，在这个过程中，他发现了三维流形的一些有趣的特例，而这些特例，现在被统称为怀特海流形。20世纪30年代到60年代之间，又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想，著名的宾、哈肯、莫伊泽和帕帕奇拉克普罗斯均在其中。帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主，是一名希腊数学家。在1948年以前，帕帕一直与数学圈保持一定的距离，直到被普林斯顿大学邀请做客。帕帕以证明了著名的“迪恩引理”而闻名于世，喜好舞文弄墨的数学家约翰·米尔诺曾经为此写下一段打油诗：“无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得毫不费力。”然而，这位聪明的希腊拓扑学家，却最终倒在了庞加莱猜想的证明上。直到1976年去世前，帕帕仍在试图证明庞加莱猜想，临终之时，他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友，然而，只是翻了几页，那位数学家就发现了错误，但为了让帕帕安静地离去，他最后选择了隐忍不言。

这一时期拓扑学家对庞加莱猜想的研究，虽然没能产生他们所期待的结果，但是，却因此发展出了低维拓扑学这门学科。一次又一次尝试的失败，使得庞加莱猜想成为出了名难证的数学问题之一。然而，因为它是几何拓扑研究的基础，数学家们又不能将其撂在一旁。这时，事情出现了转机。

1966年菲尔兹奖得主斯梅尔，在20世纪60年代初想到了一个天才的主意：如果三维的庞加莱猜想难以解决，高维的会不会容易些呢？1960年到1961年，在里约热内卢的海滨，经常可以看到一个人，手持草稿纸和铅笔，对着大海思考。他就是斯梅尔。1961年的夏天，在基辅的非线性振动会议上，斯梅尔公布了自己对庞加莱猜想的五维空间和五维以上的证明，立时引起轰动。10多年之后的1983年，美国数学家福里德曼将证明又向前推动了一步。在唐纳森工作的基础上，他证出了四维空间中的庞加莱猜想，并因此获得菲尔兹奖。但是，再向前推进的工作，又停滞了。拓扑学的方法研究三维庞加莱猜想没有进展，有人开始想到了其他的工具。瑟斯顿就是其中之一，他引入了几何结构的方法对三维流形进行切割，并因此获得了1983年的菲尔兹奖。(www.daowen.com)

庞加莱

1972年，丘成桐和李伟光合作，发展出了一套用非线性微分方程的方法研究几何结构的理论。丘成桐用这种方法证明了卡拉比猜想，并因此获得菲尔兹奖。1979年，在康奈尔大学的一个讨论班上，当时是斯坦福大学数学系教授的丘成桐见到了汉密尔顿。“那时候，汉密尔顿刚刚在做Ricci流，别人都不晓得，跟我说起。我觉得这个东西不太容易做。没想到，1980年，他就做出了第一个重要的结果。”丘成桐说，“于是我跟他讲，可以用这个结果来证明庞加莱猜想，以及三维空间的大问题。”Ricci流是以意大利数学家里奇命名的一个方程。用它可以完成一系列的拓扑手术，构造几何结构，把不规则的流形变成规则的流形，从而解决三维的庞加莱猜想。看到这个方程的重要性后，丘成桐立即让跟随自己的几个学生跟着汉密尔顿研究Ricci流。在使用Ricci流进行空间变换时，到后来，总会出现无法控制走向的点。这些点，叫做奇点。如何掌握它们的动向，是证明三维庞加莱猜想的关键。在借鉴了丘成桐和李伟光在非线性微分方程上的工作后，1993年，汉密尔顿发表了一篇关于理解奇点的重要论文。便在此时，丘成桐隐隐感觉到，解决庞加莱猜想的那一刻，就要到来了。

虽然多年来屡屡有人声称取得进展，但一直无人能彻底解出庞加莱猜想。2000年，美国克莱数学研究所将之列为“世界七大数学难题”之一，并开出100万美元的高额奖金悬赏破解。俄罗斯科学院圣彼得堡斯蒂克洛夫数学研究所的数学家格里戈里·斐里曼，在2006年8月22日于西班牙马德里举行的第25届世界数学家大会上，获得世界数学最高奖——菲尔兹奖。国际数学联盟一致认为，斐里曼成功破解了“世界数学七大难题之一的庞加莱猜想”。英国《卫报》甚至惊叹，斐里曼可能是本星球最聪明的人。斐里曼就职于俄罗斯科学院圣彼得堡斯蒂克洛夫数学研究所，多年来一直从事对“庞加莱猜想”的研究。1992年11月，他的研究报告首次公开就引起了国际数学界的关注，多位世界知名数学大师曾与其探讨过。2003年4月，应美国麻省理工学院华裔数学家田刚邀请，斐里曼赴美作了三场演讲，并现场回答了多位数学家的质疑。不久，美国《纽约时报》便刊登出“俄国人解决了著名数学问题”的新闻。专家小组随后对他的研究成果进行了审查，认可了他的研究成果。

庞加莱猜想的证明意义重大。它是人类在三维空间研究角度解决的第一个难题，也是一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识，对物理学和工程学都将产生深远的影响，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生深远的影响。

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菲尔兹奖

菲尔兹奖是以已故的加拿大数学家、教育家J.C.菲尔兹的姓氏命名的，他的中文全名：约翰·查尔斯·菲尔兹。菲尔兹奖是最著名的世界性数学奖，由于诺贝尔奖没有数学奖，因此也有人将菲尔兹誉为数学中的“诺贝尔奖”。第一次菲尔兹奖颁发于1936年，而后每4年一次。菲尔兹奖的一个最大特点是奖励年轻人，只授予40岁以下的数学家，即授予那些能对未来数学发展起到重大作用的人。菲尔兹奖是一枚金质奖章和1500美元的奖金、奖章的正面是阿基米德的浮雕头像。它是由数学界的国际权威学术团体——国际数学联合会主持，从全世界的第一流青年数学家中评定、遴选，在每隔四年才召开一次的国际数学家大会上隆重颁发的，且每次获奖者仅2~4名（一般只有2名）。