出入相补原理的证明|多角形面积的求解|

出入相补原理是指：一个平面图形从一处移置他处，面积不变。若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。

我国古代几何学不仅有悠久的历史、丰富的内容、重大的成就，而且是一个具有我国自己的独特风格的体系，和西方的欧几里得体系不同。这一几何体系的全貌还有待于发掘清理，田亩丈量和天文观测是我国几何学的主要起源，二者导出面积问题和勾股测量问题，计算容积、土建工程又导出体积问题。我国古代几何学的特色之一是，依据这些方面的经验成果，总结提高成一个简单明白、看起来似乎微不足道的一般原理——出入相补原理，并且把它应用到形形色色多种多样的不同问题上去。

欧几里得

应用出入相补这一原理，容易得出三角形面积等于高底相乘积的一半这一通常的公式，由此拟定任意多角形的面积。明末耶稣会传教士利玛窦来我国，他的主要学术工作之一是介绍欧几里得几何体系。他曾口授《测量法义》一书，其中载有和海岛题完全类似的一题。在他所作的证明中，需要另外附加一个条件，然后再用比例理论作证。按常理来说，利玛窦应该作平行线，但是他一反欧几里得惯例而和我国古代传统不谋而合，颇使人迷惑不解。

在《周髀算经》和《九章算术》中，都已经明确给出了勾股定理的一般形式：勾2+股2=弦2。虽然原证不传，但是据《勾股定理说》以及《刘徽九章算术注》，都依出入相补原理证明，并且有遗留到现在可以用来作证的赵爽残图。欧几里得《几何原本》中勾股定理的证明，其中要先证有关三角形全等以及三角形面积的一些定理，为此要作不少准备工作，因而在《几何原本》中直到卷一之末出现这一定理，而在整个《几何原本》中几乎没有用到。而在我国，勾股定理在《九章算术》中已经有多种多样的应用，成为2000年来数学发展的一个重要的出发点。

在东西方的古代几何体系中，勾股定理所占的地位是颇不相同的。勾、股、弦和它们之间的和差共九个数，只须知道其中的两个就可以求得其他几个。除勾、股、弦互求就是开方之外，《九章算术》勾股章中有不少这方面的问题：第一，知股弦差、勾，求股、弦（五题）；第二，知勾股差、弦，求勾、股（一题）；第三，知股弦差、勾弦差，求勾、股、弦（一题）；出了证明，公式的来历和证明的方法都依据出入相补原理，有的也用比例作别证。事实上，《周髀算经》中已经给出了若干具体数目的平方根，而在《九章算术》中，更详细说明了开平方的具体方法步骤。这一方法的根据是几何的，就是出入相补原理。

我国开平立方法来源很古，它的几何本质十分清晰，而且从方法上可以看出我国独有而世界古代其他民族所无的位置制计数法的高度优越性。不仅这样，到11世纪中叶，我国就已经把开平立方法推广到开任何高次幂，就是所谓“增乘开方法”，并且出现了有关的二项式定理系数表，就是所谓“开方作法本源图”。从这一方法的几何渊源看来，如果说当时我国数学家已经有高维方体和高维几何的雏影，似乎不是全无根据的。下面的例取自《九章算术》，ABCD是一方城，出北门北行若干步到G有木，出南门南行若干步到F再西行若干步到H，恰可望见木G，问题是求方城每边的长。据《刘注》的方法是依出入相补原理得“ET=2EG=2KG=2×北步×西步”为实，以“南步+北步”为从法，开平方除之，得EI，也就是方城边长。不仅应用开平方法可得问题（A）的数值解，而且应用出入相补原理，还可以求得解答的精确表达式。(www.daowen.com)

勾股定理的几何图示

宋元时期明确引入了未知数的概念。如果以x（当时称为天元一）表长方形阔，那么问题（A）相当于解一个二次方程x²+ax=b，其中a相当于从法，b相当于实。所以在古代实质上已经给出了这一形式二次方程（a，b都是正数）的近似解和精确解，前者在宋元时期发展为求任意高次方程的数值解法，后者虽文献散佚不可查考，但是据唐初王孝通的著作以及史书关于祖冲之的引述看来，不能排除我国曾经对三次方程用几何方法求得精确表达的可能性。在其他各国，公元9世纪的时候，阿拉伯数学家花拉子米的代数学名著中列举了各种类型二次方程的精确解法，它的方法是几何的，它的精神实质和出入相补原理颇相类似。公元16世纪，意大利数学家关于三次方程的解法，也完全是几何的。如果规定长方形的面积是长阔的积，欧洲直到19世纪末，才把它作为一个难题明确地提了出来。公元1900年德国数学家希尔伯特在国际数学会上所作著名讲演中，把体积理论列为23个问题之一。这一问题立即为德恩所解决，答案是否定的：两个多面体要分割成彼此重合的若干多面体，必须满足某些条件，通称德恩条件。

利玛窦

自此以后直到1965年，一位瑞士数学家西德勒才证明了德恩条件也是充分的。但是决不能认为问题已经彻底解决。从希尔伯特直到至今，多面体体积理论仍不断成为一些知名数学家研讨的课题。德恩条件叙述复杂，也难认为是合宜的最后形式。

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《周髀算经》

《周髀算经》是算经的十书之一，约成书于公元前1世纪，原名《周髀》，它是我国流传至今的一部最早的数学著作，同时也是一部天文学著作。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。在《周髀算经》中还有开平方的问题，等差级数的问题，使用了相当繁复的分数算法和开平方法，以及应用于古代的“四分历”计算的相当复杂的分数运算，还有相当繁杂的数字计算和勾股定理的应用。