最小的自然数和一位数|“0”与“1”的争议|

自然数就是用以计量事物的件数或表示事物次序的数，即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。自然数由0开始（包括0），一个接一个，组成一个无穷集体。自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论，自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。

自然数是在人类的生产和生活实践中逐渐产生的。人类认识自然数的过程是相当长的。在远古时代，人类在捕鱼、狩猎和采集果实的劳动中产生了计数的需要。起初人们用手指、绳结、刻痕、石子或木棒等实物来计数。例如：表示捕获了3只羊，就伸出3个手指；用5个小石子表示捕捞了5条鱼；一些人外出捕猎，出去1天，家里的人就在绳子上打1个结，用绳结的个数来表示外出的天数。这样经过较长时间，随着生产和交换的不断增多以及语言的发展，渐渐地把数从具体事物中抽象出来，先有数目1，以后逐次加1，得到2、3、4……这样逐渐产生和形成了自然数。因此，可以把自然数定义为，在数物体的时候，用来表示物体个数的1、2、3、4、5、6……叫做自然数。自然数的单位是“1”，任何自然数都是由若干个“1”组成的。

数学习题

毕达哥拉斯学派将自然数分成许多类型：奇数，偶数；素数，合数；完全数，亲和数，三角数，五角数，平方数。序数理论是意大利数学家G.皮亚诺提出来的。他总结了自然数的性质，用公理法给出自然数的如下定义：自然数集N是指满足以下条件的集合：①N中有一个元素，记作1。②N中每一个元素都能在N中找到一个元素作为它的后继者。③1是0的后继者。④0不是任何元素的后继者。⑤不同元素有不同的后继者。⑥（归纳公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M＝N。基数理论则把自然数定义为有限集的基数，这种理论提出，两个可以在元素之间建立一一对应关系的有限集具有共同的数量特征，这一特征叫做基数。这样，所有单元素集｛x｝，｛y｝，｛a｝，｛b｝等具有同一基数，记1。类似地凡能与两个手指头建立一一对应的集合，它们的基数相同，记作2，等等。自然数的加法、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。

自然数在日常生活中起了很大的作用，人们广泛使用自然数。自然数是人类历史上最早出现的数，自然数在计数和测量中有着广泛的应用。人们还常常用自然数来给事物标号或排序，如城市的公共汽车路线，门牌号码，邮政编码等。自然数是整数，但整数不全是自然数，例如：-1、-2、-3……是整数而不是自然数。自然数是无限的。全体非负整数组成的集合称为非负整数集（即自然数集）。在数物体的时候，数出的1、2、3、4、5、6、7、8、9……叫自然数。自然数有数量、次序两层含义，分为基数、序数。基本单位是1，计数单位是个、十、百、千、万……。

“0”是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。目前关于这个问题尚无一致意见。不过，在数论中，多采用前者；在集合论中，则多采用后者。国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了国际交流的方便，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》《量和单位》规定自然数包括0。理所应当的，最小的自然数便是0。(www.daowen.com)

自然数的规则排列

0是最小的自然数，那么最小的一位数是“1”还是“0”？在0没有归入自然数以前大家都很清楚，最小的一位数是1。那么，现在0也成为自然数了，最小的一位数还是1吗？这是许多教师提出的疑问，笔者认为最小的一位数还是1。因为，0表示一个物体也没有，在计数法中是表示空位的一个符号，如3005里“0”就分别表示这个数的十位、百位都是空位。这次调整虽然将“0”划归自然数，然而对几位数的概念并没改变。关于“几位数”是这样定义的“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数，只用两个有效数字，其中左边第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位数……”假设0也算作一位数的话，那么最小的两位数是“10”还是“00”呢？那么最小的三位数、四位数……又是多少呢？所谓最大的几位数，最小的几位数，通常也是在非零自然数有范围来说。所以，最大一位数是9，最小一位数是1；最大两位数是99，最小两位数是10；最大三位数是999，最小三位数是100……”综上所述，“0”虽然是最小的自然数，但仍然不能称为“一位数”，更不能称为最小的一位数了。

数的规律

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规矩数

规矩数，又称可造数，是指可用尺规作图方式作出的实数。在给定单位长度的情形下，若可以用尺规作图的方式作出长度为a的线段，则a就是规矩数。规矩数的“规”和“矩”分别表示圆规及直尺，两个尺规作图的重要元素。利用尺规作图可以将两线段的长度进行四则运算，也可以求出一线段长度的平方根。因此符合以下任一条件的均为规矩数：整数；所有有理数；规矩数a的平方根、四次方根、八次方根等2n次方根；有限个规矩数相加、相减、相乘、相除（除数不得为0）的结果。圆周率π、e均不是规矩数。因为两个规矩数在相加、减、乘或除之后依然是规矩数，即规矩数对这些算法是闭合的；换用抽象代数的术语，它是一个域。