代数与代数学|古老算术的推广和发展|

代数是研究数字和文字的代数运算理论和方法，更确切地说，是研究实数和复数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。初等代数是更古老的算术的推广和发展。在古代，当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。代数是由算术演变来的，这是毫无疑问的。

李善兰

如果我们对代数符号不是要求像现在这样简练，那么，代数学的产生可上溯到更早的年代。西方人将公元前3世纪古希腊数学家丢番图看作是代数学的鼻祖。而在中国，用文字来表达的代数问题出现的就更早了。“代数”作为一个数学专有名词、代表一门数学分支在我国正式使用，最早是在1859年。那年，清代数学家李善兰和英国人韦列亚力共同翻译了英国人棣么甘所写的一本书，译本的名称就叫做《代数学》。当然，代数的内容和方法，我国古代早就产生了，比如《九章算术》中就有方程问题。代数学随着人类生活的提高，生产技术的进步，科学和数学本身的需要而产生和发展。在这个过程中，代数学的研究对象和研究方法发生了重大的变化。代数学可分为初等代数学和抽象代数学两部分。初等代数学是更古老的算术的推广和发展，而抽象代数学则是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。初等代数的中心内容是解方程，因而长期以来都把代数学理解成方程的科学，数学家们也把主要精力集中在方程的研究上。它的研究方法是高度计算性的。要讨论方程，首先遇到的一个问题是如何把实际中的数量关系组成代数式，然后根据等量关系列出方程。所以初等代数的一个重要内容就是代数式。由于事物中的数量关系的不同，大体上初等代数形成了整式、分式和根式这三大类。代数式是数的化身，因而在代数中，它们都可以进行四则运算，服从基本运算定律，而且还可以进行乘方和开方两种新的运算。通常把这六种运算叫做代数运算，以区别于只包含四种运算的算术运算。

在初等代数的产生和发展的过程中，通过解方程的研究，也促进了数的概念的进一步发展，将算术中讨论的整数和分数的概念扩充到有理数的范围，使数包括正负整数、正负分数和零。这是初等代数的又一重要内容，就是数的概念的扩充。有了有理数，初等代数能解决的问题就大大地扩充了。但是，有些方程在有理数范围内仍然没有解。于是，数的概念再一次扩充到了实数，进而又进一步扩充到了复数。那么到了复数范围内是不是仍然有方程没有解，还必须把复数再进行扩展呢？数学家们说：不用了。这就是代数里的一个著名的定理——代数基本定理。这个定理简单地说就是n次方程有n个根。1742年12月15日瑞士数学家欧拉曾在一封信中明确地做了陈述，后来另一个数学家、德国的高斯在1799年给出了严格的证明。

初等代数学进一步的向两个方面发展，一方面是研究未知数更多的一次方程组；另一方面是研究未知数次数更高的高次方程。这时候，代数学已由初等代数向着高等代数的方向发展了。二次方程的求根公式在花拉子米时代就已经得到，但三次、四次方程的求根公式却直到15世纪末还没有得到。16世纪上半叶，意大利数学家塔尔塔利亚首先得到了三次方程的一般解法，其方法却由另一位意大利数学家卡尔达诺抢先在他的著作《大术》中公布，为此引出一场风波，其中包括400多年前的著名的数学竞赛。三次方程的求根公式以“卡尔达诺公式”流传下来。四次方程的一般解法由卡尔达诺的学生费拉里得到。

在出现普遍适用的代数符号之前，代数方程理论的发展是缓慢的、曲折的。花拉子米的《代数学》完全用文字叙述，使用起来很不方便。丢番图和印度数学家都使用过一些缩写文字和记号，但很不系统，没有被后人采纳。在12世纪以后欧洲的代数学文献中陆续出现过一些简写法，包括一些运算的表示。到15世纪末，开始使用现代符号“＋”和“－”来代替过去流行的烦琐语言表示数学运算。接着又有了幂及根式的符号，并且出现了括号。符号代数学的最终确立是由法国数学家韦达完成的。他的《分析术入门》被西方数学史家推崇为第一部符号代数学。在本书中，他自觉地、系统地运用字母代替数字，用辅音字母表示已知数，用元音字母表示未知数。韦达还明确指出代数与算术的区别，前者是“类的算术”（施行于事物的类和形式的运算），后者是“数的算术”。于是代数学更带有普遍性，形式更抽象，应用更广泛。在稍后的工作里，韦达改进了三次、四次方程的解法。

在19世纪，代数学发生了革命性的变革。首先是挪威数学家阿贝尔证明了五次以上的一般代数方程不可能用根式求解，并实质上引进了域和在给定域中不可约多项式这两个概念。紧接着，法国数学家伽罗瓦对于高次方程是否能用根式求解问题给出更彻底的解答。他引进了置换群的正规子群、数域的扩域、群的同构等概念，证明了由方程的根的某些置换所构成的群（即伽罗瓦群）的可解性是方程根式可解的充分必要条件。伽罗瓦的工作并没有立即为人们所了解和接受，直到1870年才由法国数学家若尔当在他的著作《置换与代数方程》中给出第一个全面而清晰的阐述，他还补充了自己的新成果，这部著作大大地推进了置换群论的研究。(www.daowen.com)

到19世纪末，数学家们从许多分散出现的具体研究对象抽象出它们的共同特征来进行公理化研究，使得代数学终于从方程理论转向代数运算的研究。近代德国学派对这一步综合的工作起了主要作用。自19世纪末戴德金和希尔伯特的工作开始，在韦伯的3卷巨著的影响下，施泰尼茨于1911年发表了重要论文《域的代数理论》，对抽象代数学的建立贡献很大。20世纪20年代以来，以A．E．诺特和阿廷以及他们的同事、学生们为中心，抽象代数学得到空前的发展。荷兰数学家范德瓦尔登根据A．E．诺特和阿廷的讲稿于20世纪30年代初写成《近世代数学》，综合当时抽象代数学各方面的工作于一书，对于抽象代数学的传播和发展起了巨大的推动作用。

伽罗瓦

抽象代数学是以研究数字、文字和更一般元素的代数运算的规律和由这些运算适合的公理而定义的各种代数结构的性质为其中心问题的。因此，抽象代数学对于全部现代数学和一些其他科学领域都有重要的影响。

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线性代数

线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间）、线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法，是数学与工程学中最主要的应用之一。