勾股定理的衍变|证明勾三股四弦五|

勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究。

人们对勾股定理的认识是一个循序渐进的过程。在现存的历史文献中，有很多关于勾股定理的记载。早在公元前15世纪，古埃及人就发现了这个玄妙的定理，这也是目前被认为是人类对“勾三股四弦五”的最早的发现。中国古代的数学家们也对勾股定理做过阐述。我国最早的一部数学著作《周髀算经》就是以勾股定理作为本书的开始的，公元前11世纪，周公与数学家商高在一起探讨直角三角形的问题时有过这样一段对话，周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下。世界上不存在能上得了天的梯子，我们也没办法用尺子去一段一段地丈量每一寸土地，那么请问我们怎么样才能知道天和地离的有多远呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的啊。”

伽菲尔德

古希腊数学家毕达哥拉斯是最早证明这个定理的人。关于他是如何证明这个定理的现在已经无从进行考证了。我国古代也有数学家曾经尝试过来证明它，三国时期吴国的数学家赵爽就取得了重大收获，并由此开创了中国数形统一的先例。

1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心的驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

现在人们已经有了400多种方法来证明这个定理。我们姑且见识一下其中的一种方法。即利用相似三角形证明。有许多勾股定理的证明方式，都是基于相似三角形中两边长的比例。

设三角形ABC为一直角三角形，直角为∠C。从点C画三角形的高，并将此高与AB的交叉点称之为H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因为在两个三角形中都有一个直角（这又是由于“高”的定义），而两个三角形都有A这个共同角，由此可知这三个角都是相等的。同样道理，△CBH和△ABC也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系：

毕达哥拉斯

因为BC=a，AC=b，AB=c(www.daowen.com)

所以a/c=HB/a，b/c=AH/b

可以写成a×a=c×HB，b×b=c×AH

综合这两个方程式，我们得到a×a+b×b=c×HB+c×AH=c×（HB+AH）=c×c

换句话说:a×a+b×b=c×c

勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单又实用，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。另外，勾股定理在数学的发展中起着重要的作用，它可以解决许多日常生活中的应用问题，在现实世界中有着广泛的应用。古代多应用于工程，例如修建房屋、修井、造车等等。现在在农村房屋的屋顶构造上，设计工程图纸上，或是在求与圆、三角形有关的数据时，多数都可以用勾股定理。物理上也有广泛应用，例如求几个力，或者物体的合速度，运动方向……

勾股定理

数学链接 SHU XUE LIAN JIE

数形结合

数形结合是学习数学的一种重要的思想方法，它使数与形达成了完美的统一。数形结合:就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面。利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一，是一种基本的数学方法。“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴涵着与它们的形状，大小，位置密切相关的数量关系;反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述。数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路;或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题。实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。