神奇的纵横图|游戏中产生的数学|

传说在很久很久以前，黄河里跃起一匹龙马，马背上驮着一幅图；洛水里也浮出一只神龟，龟背上也驮着一幅图。这两幅图上都用圆点来表示一组数字，马背上的那幅称为“河图”，龟背上的那幅称为“洛书”（见图1）。再后来，经过人们研究，发现图中右边的那幅“洛书”，其实是一幅纵横图，即用1~9这9个数字组成一幅数字图，把它横的每行相加、竖的每列相加以及对角线相加，其和都等于15（参见图2）。我们知道，纵横图就是今天所说的“幻方”，一般地，是指把从1到10的自然数排成纵横各有m个数，并且使同行、同列及同一对角线上的n个数的和都相等的一种方阵，其中涉及的是组合数学的问题。而前面所说的“洛书”，就是我国最早的一个三阶幻方。

图1　河图洛书

中国东汉末年郑玄注《易纬·乾凿度》：“太乙取其数以行九宫，四正四维皆合于十五。”而得九宫数，即三阶幻方。西魏北周卢注《礼记·明堂篇》，“二九四、七、五、三、六、一、八”有法龟文之说，后周甄鸾注《数术记遗》云：“九宫者，二、四为肩，六、八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”也与龟文之说暗合。古人在龟甲或骨上用火灼出窝槽，爆见吉祥之兆，有时这种窝槽的排列有了某种特殊的意义，令人惊异，于是成为世代相传的神话。可见，九宫图由来已久。

图2　纵横图

长期以来，纵横图一直被看做是一种数字游戏。一直到南宋时期的数学家杨辉，才真正把它作为一个数学问题而加以深入的研究。他在《续古摘奇算法》一书中，不仅搜集到了大量的各种类型的纵横图，而且对其中的部分纵横图还给出了如何构造的规则和方法，从而开创了这一组合数学研究的新领域。杨辉的《续古摘奇算法》卷首就有“纵横图”之名，其中给出了三至十阶的幻方及其变体共十三种。他给出的方形纵横图共有十三幅，它们是：洛书数（三阶幻方）一幅，四四图（四阶幻方）两幅，五五图（五阶幻方）两幅，六六图（六阶幻方）两幅，七七图（七阶幻方）两幅，六十四图（八阶幻方）两幅，九九图（九阶幻方）一幅，百子图（十阶幻方）一幅。其中还给出了“洛书数”和“四四阴图”的构造方法。如“洛书数”的构造方法为：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。”

元代安西王府旧址（今西安市郊）曾出土至元十五年（1278）阿拉伯学者扎马鲁丁为安西王推算历法期间所制作的“东阿拉伯系统”数码的铁制六阶幻方。上海浦东陆家嘴明嘉靖陆深墓中也发现元代玉质可佩挂的四阶幻方。

明王文素《算学宝鉴》载纵横图多种。程大位《算法统宗》卷十七载纵横图14种，及清方中通《数度衍》卷首之一“九九图说”后附纵横图14种，与杨辉所著《续古摘奇算法》中所载纵横图大同小异。张潮《心斋杂俎》卷下“算法图补”增补纵横图若干种。梅成《增删算法统宗》淘汰有关河图洛书及纵横图的内容之后，纵横图存在约有一百多年。

清初，传教士传入《三三等数图》列三至十阶纵横图8种，并指出作图方法。英国人傅兰雅主编的《格致汇编》载有四阶纵横图，此即1514年度勒所刻十六字方图。欧洲研求纵横图造法始自14世纪。中国人杜亚泉（1872～1933）等从1900年起论及纵横图的造法，但多沿用西说。(www.daowen.com)

数码的铁制六阶幻方

电子计算机的发展又给它赋予了新的含义，目前它在组合分析、图论、人工智能等各方面都有所应用。美国计算机协会主编的CACM程序汇编中也把纵横图的编造程序收了进去。建筑学家勃拉东发现纵横图的对称性极为丰富，其中有许多美丽的图案，他把这些线条称为“魔线”，可用于轻工业品、封面包装等设计中。加拿大滑铁卢大学的一位专家发现了它与“拉丁方”的内在联系，由于“拉丁方”在实验设计领域中的无比重要性，从此，纵横图就更加引起了人们的重视。国外出版的《现代代数及其应用》这本专门著作里就把纵横图列为专门题材。纵横图在古代主要属于数学游戏，但现在已经在许多实际问题上得到了应用。目前，国际上有不少科学家正在绞尽脑汁研究它的规律。有的科学家甚至设想，如果我们的宇宙飞船飞到了一个有高级智慧生物存在的星球上，用纵横图那样的数学语言，也许可以作为媒介，沟通相互之间的思想。

洛书图

数学链接 SHU XUE LIAN JIE

“洛书”的传说

相传在大禹治水的年代里，陕西的洛水常常大肆泛滥。洪水冲毁房舍，吞没田园，给两岸人民带来巨大的灾难。于是，每当洪水泛滥的季节来临之前，人们都抬着猪羊去河边祭河神。每一次，等人们摆好祭品，河中就会爬出一只大乌龟来。人们开始留心观察这只大乌龟。发现乌龟壳有9大块，横着数是3行，竖着数是3列，每一块乌龟壳上都有几个小点点，正好凑成从1到9的数字。可是，谁也弄不懂这些小点点究竟是什么意思。乌龟壳上的这些点点，后来被人们称作为“洛书”。大禹按照“洛书”把祖国大地划分九州，并制定治理天下的九类大法，整治了洪水，河水从此再也不泛滥了。有一年，这只大乌龟又爬上岸来，忽然，一个看热闹的小孩惊奇地叫了起来：“多有趣啊，这些小点点不论是横着加，竖着加，还是斜着加，算出的结果都是15！”这个神奇的故事在我国流传极广，甚至被写进许多古代数学家的著作里。