数的发展|数系家族成员的壮大|

数，是数学中的基本概念，也是人类文明的重要组成部分。数的概念的每一次扩充都标志着数学的巨大飞跃。一个时代的人们对于数的认识与应用，以及数系理论的完善程度，反映了当时数学发展的水平。今天，我们所应用的数系，已经构造的十分完备和缜密，以至于在科学技术和社会生活的一切领域中，它都成为基本的语言和不可或缺的工具。

人类在进化的蒙昧时期，就具有了一种“识数”的才能，并发明了种种计数方法。随着人类社会的进步，数的语言也在不断发展和完善。数系发展的第一个里程碑出现了——位置制记数法。所谓位置制计数法，就是运用少量的符号，通过它们不同个数的排列，以表示不同的数。引起历史学家、数学史家兴趣的是，在自然环境和社会条件影响下，不同的文明创造了迥然不同的计数方法。如巴比伦的楔形数字系统、埃及象形数字系统、希腊字母数字系统、玛雅数字系统、印度—阿拉伯数字系统和中国的算筹计数系统。

“0”作为计数法中的空位，在位置制计数的文明中是不可缺少的。早期的巴比伦楔形文字和宋代以前的中国筹算计数法，都是留出空位而没有符号。印度人起初也是用空位表示零，后来记成点号“·”，最后发展为圈号。印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家。13世纪初，意大利的商人斐波那契编著《算经》，把包括零号在内完整的印度数码介绍到了欧洲。印度数码和10进位位置制计数法被欧洲人普遍接受后，它们在欧洲的科学和文明的进步中扮演了重要的角色。

见证数字历史的证据

人类第一个认识的数系，就是常说的“自然数系”。但是，随着人类认识的发展，自然数系的缺陷也就逐渐显露出来。首先，自然数系是一个离散的、而不是稠密的数系，因此，作为量的表征，它只能限于去表示一个单位量的整数倍，而无法表示它的部分。同时，作为运算的手段，在自然数系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它们的逆运算。这些缺陷，由于分数和负数的出现而得以弥补。有趣的是这些分数也都带有强烈的地域特征。巴比伦的分数是60进位的，埃及采用的是单分数，阿拉伯的分数更加复杂：单分数、主分数和复合分数。这种繁复的分数表示必然导致分数运算方法的繁杂，所以欧洲分数理论长期停滞不前，直到15世纪以后才逐步形成现代的分数算法。与之形成鲜明对照的是中国古代在分数理论上的卓越贡献。原始的分数概念来源于对量的分割。但是，《九章算术》中的分数是从除法运算引入的。中国古代分数理论的高明之处是它借助于“齐同术”把握住了分数算法的精髓：通分。而分数系是一个稠密的数系，它对于加、乘、除三种运算是封闭的。为了使得减法运算在数系内也通行无阻，负数的出现就是必然的了。盈余与不足、收入与支出、增加与减少是负数概念在生活中的实例。

负数虽然通过阿拉伯人的著作传到了欧洲，但16世纪和17世纪的大多数数学家并不承认它们是数，或者即使承认了也并不认为它们是方程的根。如丘凯和斯蒂费尔都把负数说成是荒谬的数，是“无稽之零下”。卡丹把负数作为方程的根，但认为它们是不可能的解，仅仅是一些记号；他把负根称作是虚有的。韦达完全不要负数，巴斯卡则认为从0减去4纯粹是胡说。负数是人类第一次越过正数域的范围。在数系发展的历史进程中，现实经验有时不仅无用，反而会成为一种阻碍。

无理数的发现经历了一个漫长的过程。古希腊人把有理数视为是连续衔接的，然而，一条直线上的有理数尽管“稠密”，但是它却露出了许多“孔隙”，而且这种“孔隙”多得“不可胜数”。15世纪达·芬奇把它们称为是“无理的数”，开普勒称它们是“不可名状”的数。这些“无理”而又“不可名状”的数，虽然在后来的运算中渐渐被使用，但是它们究竟是不是实实在在的数，却一直是个困扰人的问题。中国古代数学在处理开方问题时，也不可避免地碰到无理根数。对于这种“开之不尽”的数，《九章算术》直截了当地“以面命之”予以接受，刘徽注释中的“求其微数”，实际上是用10进小数来无限逼近无理数。(www.daowen.com)

17、18世纪微积分的发展几乎吸引了所有数学家的注意力，恰恰是人们对微积分基础的关注，使得实数域的连续性问题再次凸显出来。因为，微积分是建立在极限运算基础上的变量数学，而极限运算，需要一个封闭的数域。无理数正是实数域连续性的关键。法国数学家柯西给出了回答：无理数是有理数序列的极限。然而按照柯西的极限定义，所谓有理数序列的极限，指预先存在一个确定的数，使它与序列中各数的差值，当序列趋于无穷时，可以任意小。1872年，克莱因提出了著名的“埃尔朗根纲领”，维尔斯特拉斯给出了处处连续但处处不可微函数的著名例子。同时，实数的三大派理论：戴德金的“分割”理论、康托的“基本序列”理论以及维尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论在德国出现。实数的三大派理论本质上是对无理数给出严格定义，从而建立了完备的实数域。实数域的构造成功，使得2000多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了。

复数概念的进化与无理数的认可同时进行。1545年，此时的欧洲人尚未完全理解负数、无理数，然而他们又面临一个新的“怪物”的挑战，当时人们对复数充满怀疑。直到18世纪，数学家们发现，在数学的推理中间步骤中用了复数，结果都被证明是正确的。特别是1799年，高斯关于“代数基本定理”的证明必须依赖对复数的承认，从而使复数的地位得到了近一步的巩固。1797年，挪威的韦塞尔写了一篇论文“关于方向的分析表示”，试图利用向量来表示复数，遗憾的是这篇文章的重大价值直到1897年译成法文后，才被人们重视。瑞士人阿甘达给出复数的一个稍微不同的几何解释，他注意到负数是正数的一个扩张，它是将方向和大小结合起来得出的。在澄清复数概念的工作中，爱尔兰数学家哈米尔顿是非常重要的。哈米尔顿所关心的是算术的逻辑，并不满足于几何直观。他指出：复数a+bi不是2＋3意义上的一个真正的和，加号的使用是历史的偶然，而bi不能加到a上去。复数a+bi只不过是实数的有序数对（a，b），并给出了有序数对的四则运算，同时，这些运算满足结合律、交换率和分配率。在这样的观点下，复数被逻辑地建立在实数的基础上。

由于科学技术发展的需要，向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生，把数学研究推向新的高峰。到目前为止，数的家庭已发展得十分庞大。

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向　量

数学中，既有大小又有方向的量叫做向量，也称矢量。一般印刷用黑体小写字母α、β、γ…或a、b、c…等来表示，手写用在a、b、c等字母上加一箭头表示。向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。如用坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i;j作为基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。由平面向量基本定理知，有且只有一对实数（x，y)，使得a=向量OP=xi+yj，因此把实数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y)。这就是向量a的坐标表示。其中（x，y）就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。向量的大小，也就是向量的长度（或称模），向量a的模记作|a|。向量的模是非负实数，可以比较大小。向量不能比较大小，对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。例如，“向量AB＞向量CD”是没有意义的。