选择好合适的收缩徐变预测模型后,需要对结构合理地进行收缩徐变效应的分析,从而才能正确考虑混凝土收缩徐变的影响［1-129］。大量混凝土徐变试验表明,当施加的应力σc<0.4fc～0.5fc时(高强混凝土上限值可能会略有所提高),徐变行为基本呈线性。线性徐变的计算遵循Boltzman叠加原理［1-101］［1-103］［1-130］,当应力连续变化时,总的应变可表示为:

εc(t)=σc(τ0)J(t,τ0)+∫J(t,τ)dτ+ε0(t)

(1.1)

式中：J(t, τ)为徐变函数又称徐变柔量；εc(t)为τ0时刻加载至t时刻混凝土的总应变；ε0(t)为t时刻的非应力应变(包括收缩应变和温度应变等)。叠加原理有一定的条件,当满足下列四个条件时,试验结果与计算值有一定的符合程度。四个条件分别为:① 应力大小满足σc<0.4fc～0.5fc;② 应变值在过程中没有减小;③ 试件在徐变过程中没有经历显著的干燥;④ 在初始加载以后,应力值没有大幅度的增加。Boltzman叠加原理应用于混凝土徐变理论,奠定了徐变效应计算的基础,在其基础上发展起来的混凝土结构徐变效应分析方法可以划分为三大类:微分方程解法、代数方程解法以及在代数方程解法上发展出来的有限元法。

1) 微分方程解法

包括Dishinger法(RCM,又称徐变率法或老化理论)、扩展Dishinger法(IDM)及有效模量法(EMM)。

Dishinger法由Glanville建立,其表达式由Whitney提出,1937年,Dishinger修改后用于复杂结构的计算［1-103］［1-131］,其适用于早龄期混凝土,对于晚龄期混凝土,Dishinger法将低估徐变值。

有效模量法［1-131］［1-132］由Mcmill提出,Faber建立,其基本原理是将混凝土的徐变归入弹性应变,即将徐变问题化为相当的弹性力学问题来解决。引入有效模量之后,可以采用弹性状态分析方法,逐步推算各时刻的变形和应力。该方法在应力无明显变化、混凝土的龄期可以忽略不计的情况下与试验结果符合较好。但该方法在应力递增时高估了变形,在应力递减时则低估了变形,还低估了常应变下的松弛,也就是计算应力高于实际应力［1-133］。在卸载情况下,变形将完全恢复,这也不符合事实。

由于有效模量法误差较大,Bazant等［1-132］建议将Dishinger法和有效模量法结合起来,提出了改进Dishinger法。与Dishinger法和有效模量法相比,改进Dishinger法可以提高结构徐变分析的精度,但与试验获得的不同加载龄期的长期徐变时程曲线吻合效果不好,尤其对基本徐变预测误差相对较大［1-134］。

微分方程解法的缺点主要在于,为了便于求解计算所作的一些假定与实际情况有较大偏差,不能适用于任意的徐变表达式,而且对于超静定结构,微分方程求解较为复杂。(www.daowen.com)

2) 代数方程解法

主要包括按龄期调整的有效模量法(AEEM)和中值系数法。

1967年,Trst在他的论文中引入了当时被称为松弛系数的概念(1972年Bazant改为老化系数),提出了徐变应力-应变关系的代数方程式;1972年Bazant［1-135］对Trst的公式进行了严密的证明,并将它推广应用到变化的弹性模量和无限界的徐变系数。混凝土由于徐变引起的变形增加通过模量的折减来实现,将随时间变化的应力看作一步施加于混凝土上,同时通过老化系数来考虑混凝土的老化对徐变的降低作用,从而克服了有效模量法忽略材料老化导致的毛病——高估第一次加载后的应力增量所引起的徐变。按龄期调整有效模量法的实质就是用积分中值定理将积分方程式转变为代数方程式,从而在保证精度的同时,大大简化了计算。按龄期调整有效模量法的关键就是如何准确得到χ(t, τ)(老化系数)或R(t, τ)(松弛系数),国内外许多专家学者对此开展了大量研究。Trst利用松弛条件近似确定χ值［1-135］,取χ=0.5～1,建议取为0.8。Bazant等［1-136］、Laeidogna等［1-137］给出了老化系数表达式。我国学者金成棣［1-138］根据老化理论的Dischinger公式推导出老化系数的表达式。东南大学孙宝俊［1-139］根据继效流动理论,推导出老化系数的计算式。王勋文和潘家英［1-140］运用考虑龄期影响的徐变本构理论与继效流动理论相结合的方法,推导了老化系数与徐变系数之间的非线性关系,通过对原有试验数据的重新拟合,得到了计算老化系数的实用公式。目前,按龄期调整的有效模量法是徐变效应分析的主流方法,适用于节段施工的大跨径预应力混凝土梁桥,很多基于按龄期调整的有效模量法编制的有限元程序用于混凝土结构收缩徐变效应的分析［1-141］～［1-144］。

中值系数法是利用积分中值定理,将混凝土应力-应变关系转化为代数方程进行求解。中值系数法有两种形式:全量形式和增量形式。全量形式由陈永春等［1-145］提出和完善,他们将混凝土应力应变积分方程关系式用积分中值定理转化为代数方程,提出了中值系数法［1-145］,1987年又作了改进［1-146］,1991年,又通过数值方法直接解积分方程,求得中值系数值,可适用于满足积分中值定理条件的各种混凝土徐变问题［1-147］。增量形式由同济大学范立础、杜国华等［1-148］提出。

3) 有限元法

有限元是在代数方程解法的基础上发展起来的,该方法主要包括两种形式:分时步徐变叠加法和增量形式递推法。我国学者朱伯芳［1-149］将徐变变形当做初应变,提出了用于混凝土结构徐变计算的初应变法,将代数方程解法和有限元法很好地结合起来,形成了徐变效应分析的有限元法。

分时步徐变叠加法以线性徐变理论和叠加理论为基础,在实际应用中较为广泛。在应力递增的徐变分析中,预测精度较高。由于徐变有滞后变形的性质,因此在应力递减的徐变分析中,叠加法将高估徐变恢复的影响［1-133］。

增量形式递推法必须是基于指数函数或Dirichlet级数形式［1-150］的徐变度,由于指数函数经过微分或积分后仍然为指数函数,因此用指数函数表示徐变特性时,能给徐变计算的求解带来很大方便。此外,把混凝土应力-应变关系写成增量形式时,由于指数函数可提供公因子,使得增量形式方程中只包含当前状态的变量,不必储存应力历史,压缩计算机的存储空间。Zienkiewicz和Waston［1-151］以及Taylor［1-152］提出了等步长的显式解法,我国学者朱伯芳［1-153］改进了此算法,给出了隐式解法,使之能适用于变步长的情形。

王书庆［1-154］从增量平衡方程出发,提出了适用于现代计算机技术实现的时间自动增量收缩徐变效应分析方法,开发了桥梁集成CAD系统,并通过一算例验证了分析方法的正确性。高政国、黄达海等［1-155］以应力冲量的形式推导了混凝土徐变应变增量的递推公式,并且以此公式构造了混凝土徐变应力分析的初应变全量有限元格式。颜东煌、田仲初等［1-156］将旧桥规中给出的混凝土徐变系数表达式用指数函数进行拟合,得到了徐变计算的递推公式,利用混凝土收缩应变规律推导出由收缩应变增量产生的单元等效结点力增量,并以此为基础,绘出了用初应变法进行节段施工混凝土桥梁的收缩徐变计算的有限元列式,编制了有限元程序。胡狄［1-72］提出了徐变效应分析的全量形式自动递进法,并基于建立的全量形式表达式,可求解任意时刻混凝土、钢筋的应力和应变及跨中梁体的竖向变形。余报楚、张哲等［1-157］以力的增量形式推导出计算各施工阶段的徐变次内力、徐变变形的递推公式,同时编制了相应的计算程序。