3.1.1　生产函数概念及其形式

（1）生产函数的概念。生产函数是描述企业在一定生产技术条件下，生产过程中投入生产要素的某种组合同它可能生产的最大产出量之间的数量关系。如果用Xi表示投入的生产要素，Q表示最大可能的产出量，则生产函数的一般数学表达式为：

（2）短期生产函数。生产要素包括劳动力、劳动资料和劳动对象等。通常抽象为资本（K）和劳动力（L）两种生产要素投入，一般认为投资是固定的，劳动投入量是可变的，随产量的变化而变化。因此，短期生产函数可简化为：Q=f（L），按经典生产函数理论，企业的短期生产函数表达式为：

如果用AQ代表平均产量，表示平均每单位劳动力投入所生产的产量，则平均劳动力投入产出函数为：

若用MQ代表边际产量，表示增加一单位劳动力投入所增加的总产量，则劳动力投入的边际产出函数为：

把企业的生产函数、平均产出函数和边际产出函数画在同一直角坐标系中，分析三者之间的关系，划分生产阶段，以寻求合理生产投入范围，见图3-1。

图3-1　短期生产函数变化趋势图

由图中可以看出，在其他条件不变的情况下，随着劳动力投入的不断增加，企业生产函数、平均产出函数和边际产出函数都经历了一个由增到减的过程。在劳动力投入增加的初期，总产量、平均产量和边际产量都是递增的。当劳动力投入达到L1时，边际产量达到最大，总产量由以递增的速度增加开始转向以递减的速度增加；当劳动力投入达到L2时，平均产量等于边际产量且达到最大，边际产量开始由大于平均产量转为小于平均产量，总产量仍以递减的速度增加；当劳动力投入达到L3时，边际产量等于零且开始由大于零转向小于零，总产量达到最大且开始下降；当劳动力投入大于L3时，总产量、平均产量和边际产量都呈现递减的趋势。因此，在其他条件不变的情况下，如果一种投入要素连续地等量增加，由此而产生的产出产量迟早会下降，这就是经济学中著名的边际报酬递减规律。通过以上分析，可把企业短期生产函数划分为以下三个阶段：

第一生产阶段是图3-1中的区域Ⅰ，在这一阶段，可变投入的总产量和平均产量都是递增的，平均产量和边际产量均达到了最大值，并且边际产量大于平均产量。

第二生产阶段是图3-1中的区域Ⅱ，在这一阶段，可变投入的平均产量开始下降，边际产量下降但大于零，因此，总产量是递增的。在这一阶段的起点，平均产量最大，在终点处，总产量最大。

第三生产阶段是图3-1中的区域Ⅲ，在这一阶段，可变投入的边际产量成为负数，总产量开始下降，平均产量继续递减。

对企业短期生产函数三个阶段的分析说明，可变投入的合理投入阶段应在第二生产阶段。当L=L2时，ε=1，Q减速增加。当L=L3时，ε=0，Q达到最大。所以劳动力投入的合理取值区间为L2≤L≤L3。究竟应取在这一阶段的哪一点为最优，还应作进一步的讨论。若用产量最大原则，应有MQ=0，即a+2bL-3cL2=0，则最佳可变投入量为：

（3）长期生产函数。从长期来看，企业的一切生产投入都是不断变化的，没有固定投入与可变投入之分。根据美国经济学家Charles Cobb和Paul Dauglas的研究结果，长期生产函数的一般表达式为：

经典的、两要素投入的C-D长期生产函数的表达式为：

式中：α为资本弹性；β为劳动力弹性；eμt为技术进步对企业产值的影响，其他字母含义同前。为研究生产要素对产出量的影响，在式（3-7）分别对生产要素K和L求偏导数得到下式：

设R为资本对劳动力的边际替代率，则有：

设生产函数：f（λL，λK）=A（λL）α（λK）βeμt=λα+βALαKβeμt，得出以下结论：

①当α+β=1时，生产函数的规模报酬不变；

②当α+β＞1时，生产函数规模报酬递增；

③当α+β＜1时，生产函数规模报酬递减。

一般认为当α+β=1时为最佳生产规模。

按一般的意义，生产函数不是研究企业规模经济的方法。但由于在企业生产发展过程中，当生产要素的投入量达到一定时，增加产出量意味着企业所生产产品的单位生产成本或长期平均成本是趋于下降的。这就意味着寻找规模报酬不变的过程就是寻找规模经济的过程。

3.1.2　生产函数的产生与发展

对生产函数的研究，可以追溯到古典经济学时期，许多经济学家在研究经济学时，一般是从研究企业生产过程开始，但系统研究生产函数却是从20世纪20年代末开始的。1928年美国经济学家Cobb和Dauglas首先提出了“生产函数”的概念，并运用美国1899~1922年的生产资料，研究出了著名的Cobb-Dauglas生产函数，简称为C-D生产函数。在以后的50年间，许多经济学家从事生产函数的深入研究，不断发表新的研究成果，使生产函数的研究与应用呈现出长盛不衰的局面。1937年Dulaner改进了C-D生产函数；1957年Solow又进一步改进并于1960年发表了包含体现技术进步的生产函数；1961年Arrow等人创立了两要素的CES生产函数；1967年Sato创立了二级CES生产函数；1968年Soskice发表了规模报酬生产函数；1968年Sato 和Hoffman联合发表了VES生产函数，同年Aigner和Chu又发表了边界生产函数；1971年Revanker对VES生产函数进行了改进和完善；1973年Christensen和Jorgenson创立了超越对数生产函数；1980年以后，生产函数理论已经相当成熟，生产函数的研究成果还是不断发表。近代关于生产函数的研究成果多为实证研究，对生产函数的实证研究已经成为生产函数理论发展的一个重点。

3.1.3　生产函数的参数估计

生产函数的参数估计是进行生产规模分析的基础，由于生产函数表达式的不同，其参数估计方法也不同，下面仅研究两要素C-D生产函数的参数估计。

（1）基本C-D生产函数的参数估计。基本C-D生产函数是指形如：Q =AKαLβ的生产函数，为进行参数估计，对其两边求对数化简后得到：lnQ= lnA+αlnK+βlnL+ε。这是一个二元一次线性方程，可以很容易地利用Excel中的LINEST函数求得参数lnA、α和β的估计值，从而确定基本C-D函数。

（2）要素需求函数的确定。在规模报酬不变，市场完全竞争和利润最大化条件下，可以采用计算投入要素所占的份额的方法来估算生产函数的参数。如果生产函数采用价值形式，即把资本投入和劳动力投入表示为企业生产的产值或收入的函数。设企业的净产值是PY，净产值中劳动力要素收入为W1L，资本要素收入为W2K，则有：W1L+W2K=PY。由利润最大化一阶条件：

可得到：

应用同样的方法求得C-D型资本（K）的需求函数为：

（3）考虑技术进步的C-D生产函数的参数估计。考虑技术进步因素的生产函数的一般表达式为：Q=A•eμt•Kα（t）•Lβ（t），式中技术进步参数是一个时间函数，重点在于确定系数μ。为确定技术进步参数，对一般表达式求对数后化简为：lnQ=lnA+μt+αlnK+βlnL，然后对其求微分，化简后得到技术进步率的表达式：

式中：为产出增长率记为y，为劳动增长率记为l，1•

K dK为资本增长率记为K，则上式可以写成：m=y-αl-βk。因此，技术进步dt以及各投入要素对经济增长的贡献率可用下列公式计算：

3.2.1　CES生产函数

CES是Constant Eleasticity of Substitution的缩写，即常替代弹性生产函数。一般为两要素CES生产函数和多要素CES生产函数两种形式。

（1）两要素CES生产函数。1961年由Arrow、Chenery、Mihas和Solow四位学者提出了此函数，其表达为：

式中A为规模参数（效率参数），反映技术发达程度；δ为分布系数，反映劳动密集程度，0＜δ≤1；ρ为替代系数，-1≤ρ≤∞。

C-D生产函数的替代弹性恒为1，而CES的替代弹性不等于1，而等于一个固定常数，为了求出这个常数，就要求边际替代率。由于CES生产函数的边际产出为：

边际替代率为：

两边取对数得到：lnR=ln（δ/（1-δ））+（1+ρ）•ln（K/L），对此式两边全微分再由替代弹性定义得到：

从上式可看出当ρ=0时替代弹性系数σ=1，这与C-D生产函数是一致的，通过以上分析可知式（3-7）是规模报酬不变的CES生产函数形式，而一般的两要素CES生产函数方成为：

式中μ为规模报酬系数，当μ＜1时规模报酬递增；当μ＞1，规模报酬递减。为进行两要素CES生产函数的参数估计，对式（3-14）取对数得到：

并在ρ=0处展开，取关于ρ的线性部分，得到下式：

由上式，令Z=lnQ，X1=lnK，X2=lnL，X3=（ln（K/L））2，则上式变为：

应用多元线性回归的方法，便可进行参数估计，在实际应用多元线性回归参数估计时，可利用Excel中的LINEST函数，很方便的确定两要素CES生产函数的模拟表达式。

（2）多元素CES生产函数。在两要素CES生产函数提出以后，许多人试图建立多元素的CES生产函数，并陆续发表了许多研究成果，比较有代表性的模型是1967年SATO提出的CES生产函数，设产出量Q有n个投入要素X=（X1，X2，…，Xn），则有：

设集合N=｛1，2，…，n｝可以划分为s个子集合｛N1，N2，…，Ns｝相应的要素X可划分为s组，即｛X（1），X（2），…，X（s）｝则式（3-16）变为：

式中φt（X（t））可以认为是属于第t组的所有投入要素的复合指标，这时式（3-16）称为这种划分是弱可分的，如果式（3-17）可以表示为：

称式（3-18）是强可分的，包含两个层次，第一级是X（t）函数，第二级是由第一级函数构成的整体函数，假定二级CES生产函数具有强可分性，并暂时舍弃具有一阶齐次性，则有：

其中可以认为是｛X（t）｝中所有投入要素的一个

综合指标，设：

其中αt＞0，-1＜ρ＜∞，可见y是Zt的CES形式生产函数，而Zt又是｛X（t）｝的CES生产函数。因此，y是｛X｝的二级CES生产函数。是第t组投入要素之间的替代弹性，是各投入要素之间的替代弹性。

为进行二级CES生产函数的参数估计，可以利用边际生产力条件的间接估计和泰勒近似值的直接估计，后一种方法比较常用。首先将二级CES生产函数在ρ=0处展开，取有限项，再将第一级CES在ρt=0处展开，取有限项带入第二级CES生产函数的近似展开式，便可得到近似方程：(www.daowen.com)

将后式带入前式整理并考虑到可能引起的共线性和计算的复杂性，用逐步回归筛选5个自变量，则有6个回归待定参数，取a1+a2=1，b1+b2=1，则基本方程为：

这便是一个五元一次线性方程，利用EXCEL中的Linest函数可以很方便的确定方程的各个参数，并可进行检验。

3.2.2　VES生产函数

VES是Variable Eleasticity of Substitution的英文缩写，意思是交替代弹性生产函数。VES有许多理论和应用成果。比较有代表性的是Revankar于1971年提出的模型，Sato和Hoffman于1968年提出的模型。Sato-Hoffman的生产函数模型替代弹性σ是时间t的函数，Revankav生产函数模型替代弹性σ为K/L。

（1）Revankar生产函数模型及其估计。设并假设技术进步为Hick中性；存在完全竞争市场；K，L的边际产出为正；边际替代率随K/L的增加而减小；生产函数为线性齐次。则可得到线性替代弹性生产函数的一般式为：

式中Z=Q/L，R=K/L，当b=0时式（3-21）退化为CES生产函数形式，其表达式为：

可以看出（3-22）为CES生产函数形式。如果令b=0，a=1，则替代弹性σ=1，这时（3-21）退化为C-D函数，即有：因此，当a=0时，σ=1+bR，此时式（3-22）表示为：

其中A，b，c为待估计参数，仔细分析可以看出上式为规模报酬固定模型，如果规模报酬系数为μ，则Revankor生产函数一般表达式为：

为进行参数估计，对上式两边取对数化为线性模型为：

令ln（L+（b/（1+c））K）=ln（L+λK）=Z（λ），在λ=0，即b=0处泰勒展开：Z（λ）=lnL+R•λ+0（λ），代入（3-25）并舍去0（λ）得到：

对上式可以采用二元线性回归，确定四个系数的回归估计值。

（2）Sato-Haffman生产函数模型。设σ=σ（t）=a+bt并假定生产函数在任何时间点上均为CES形式，σ因技术进步随时间显著变化。同样用上面分析方法可以得到：

这就是Sato和Hoffman在1968年发表的VES生产函数模型，它是CES生产函数的漂移形式。

3.2.3　超越对数生产函数

1973年Christensen、Jorgenson和Lan提出了一个更为一般的交替弹性生产函数。由于它用投入要素对数的二次式来表示产出量的对数，所以被称作“超越对数生产函数”。表达式为：

lnQ=β0+βKlnK+βLlnL+βKK（lnK）2+βLL（lnL）2+βLKlnKlnL（3-27）

由上式可以看出这个生产函数的参数容易估计，而且还可以被看做任何形式的生产函数的二阶泰勒近似展式。可用来检验实际考察对象的生产要素替代弹性是否为常数。当时替代弹性为常数，否则为非常数。

3.2.4　含体现技术进步的Solow-Nelson同期模型

1942年Tinbergen首次提出再生产函数中加入时间指数趋势用以测定技术进步对产出量的影响。1957年Solow提出总量生产函数度量技术进步的方法。1964年Solow首次提出了同期模型，同年由Nelson进行了补充和应用。具体讲，这个模型是在C-D型生产函数的基础上，以总资本量、资本平均年龄和新资本品级的技术进步率共同决定的“有效”资本要素投入量来调整资本投入序列。考虑技术进步在K的体现时，采用以下模型：

式中J′t是一质量加权的资本数，A′t是去掉体现在资本上的技术进步作用的效益系数。L′t为劳动力数量。如果考虑所有资本品的年龄构成，设新增资本的年度损失效率λK，则质量加权的资本数可以表示为：

式中Kmt为在第m年形成而在第t年仍在使用的资本量。如果引进第t年资本的平均寿命Qt，则有效资本增长率可以近似表示为：

式中Δa为资本平均年龄的变化，当资本平均年龄降低时，Δa取负值，即Δa=at+Δt-at；ΔK/K为实际资本量增长率。λK为资本质量平均年改进率，λK•Δa为资本平均年龄变化作用调整量。通过以上分析，产出量增长速度方程为：

类似地，引入平均劳动质量变量，也可以分离出由于劳动质量的变化对产出量增长的贡献。Tntriligator于1965年应用美国1909~1949年的数据进行了试算，得到当λK=0.04时拟合效果最好。Solow在1962年也对钢铁工业取0.04为资本进步率。

3.2.5　边界生产函数

从理论上讲，生产函数是描述一定的投入要素组合与最大产出量之间关系的数学表达式。这种生产函数即为边界生产函数，它要确定一定生产要素投入下的最大产出量。而人们用实际投入与产出量作为样本数据进行生产函数的分析确定一定投入要素组合与平均产出量之间的关系的生产函数称为平均生产函数。边界生产函数可以按照边界的确定和估计方法来分类，分为确定性边界生产函数和随机性边界生产函数。确定性边界生产函数又可分为确定性非参数边界、确定性参数边界和确定性统计边界三种生产函数。

（1）确定性边界生产函数。这种生产函数把影响产出量的不可控制因素和可控制因素不加区分，统一归入一个单侧的误差项中，作为对非效益性的反映，并且把这个非效益影响系数设定为0≤e-μ≤1。如果用y表示为实际产出量，f（x）表示边界产出量，则有确定性边界生产函数为：

Q=f（X）e-μ（μ≥0）（3-31）

1968年Aiger和Chu提出了用线性规划或二次规划来估计确定参数边界生产函数的方法。对式（3-31）取对数得到：lnQ=lnf（x）-μ（μ≥0），以C-D函数为例上式可以转化为：

设有m个样本点（x1j，x2j，…，xnj，Qi），其中j=1，2，…，m考虑线性规划问题：

求解线性规划问题，得到最优解^α0，^α1，…，^αn和^A=e^α0，则可得到确定性参数边界函数：

也可构造二次规划模型：

用Wolfe算法求解二次规划问题。

（2）随机边界生产函数效益。这种生产函数把误差分为两部分：一部分由不可控制因素产生的噪声误差；另一部分为随机边界误差。实际上随机边界生产函数是确定性边界生产函数的发展，是在确定性边界生产函数的基础上，增加随机性误差的影响，其具体模型为：

其中f（x）eV为随机边界，e-μ为相对于随机边界的生产非效益。同样可以对式（3-35）两边取对数，利用线性规划或二次规划的方法进行参数统计。

生产函数研究的是在一定生产技术条件下，一定投入要素的组合与产出量之间的定量关系。虽然生产函数也研究生产过程的平均产出量和最大产出量问题，但这些研究多不以成本最低为原则，而是研究投入成本一定条件下的平均产出或最大产出；或者一定产量下的最小成本。因此，生产函数在本质上不是解决规模经济的方法。

从微观经济学的研究中可以看到，研究生产要素最优投入组合与产出量的关系，必然会涉及生产成本问题。在成本函数的研究中，确定一定生产量下成本最小的投入组合是一个基本问题。要解决这个问题，必须要研究成本函数。

3.3.1　等成本线与投入最佳组合

我们从资本和劳动力两种投入要素的分析开始。如果每单位劳动力的价格为PL，每单位资本的价格为PK，在总支出为TC的情况下，可能的投入组合是：

由式（3-36）可以把劳动力投入L表示为资本投入K的函数，其数学表达式为：

如果把式（3-37）在横坐标为L，纵坐标为K直角坐标系中表示出来，则可以得到一条截距为TC/PK，斜率为-PL/PK的直线，这条直线被称作等成本线。它反映了在总支出TC一定的情况下，K与L的组合变动轨迹。如果我们把企业相应的等成本曲线置于其等产量曲线的上面，就会很容易地从图上确定在一定支出情况下哪种投入组合可以使产量达到最大，见图3-2。

图3-2　　给定成本下的最大产量

很明显，在等成本曲线与等产量曲线相切的点，使产量达到最大。如果两要素投入的生产函数为：Q=f（x1，x2），当成本C0一定的条件下，要想使产量Q达到最大，则建立拉格朗日函数为：求一阶微分后得到：

如果边际投入分别记为则最优投入组合的条

件为：

如果要使产出量一定而要确定最小成本组合，即要以最小成本投入组合生产出特定数量的产品。可以把固定的等产量曲线和变动的等成本曲线画在坐标中，见图3-3。

图3-3　特定产量下的最小成本

由图中可以看出，最小成本点B仍然是等成本曲线和等产量曲线的切点。当产量一定的条件下，要想使成本达到最小，则可以构造如下拉格朗日函数：

求一阶微分后仍然得到式（3-38）相同的结果。即要想使最小成本最大产出特定数量的产品，或在一定成本支出条件下达到最大，都必须要使边际替代率与投入价格的比率相等。

3.3.2　成本函数与生产函数的关系

成本函数有短期成本函数和长期成本函数之分。短期成本函数把总成本分为短期固定成本和短期变动成本两部分。如果用STC表示短期总成本，用STFC表示短期总固定成本，用STVC表示短期总变动成本，则有：STC= STFC+STVC。一般情况下，STVC是生产量的系数，STVC=f（Q）。因此，f（Q）中的Q可由生产函数确定。在成本函数理论中，短期平均不变成本定义为SAFC=STFC/Q；短期平均可变成本定义为SAVC=STVC/Q；短期平均总成本定义为SAC=STC/Q=SAFC+SAVC；短期边际成本定义为SMC=dSTVC/dQ。由于从长期来看，成本不存在固定成本，都是在变化之中，因此，长期成本函数被定义为：LTC=g（Q）。同样g（Q）可由生产函数来确定。长期成本函数中的LAC=LTC/Q；lMC=dlTVC/dQ。

产量和成本是企业生产过程中的两个基本指标：产量是一个实物量概念，在产品的数量方面，反映着企业生产的重要效果，是计算企业生产成本、销售收入和利润的基础指标；而成本是个价值量概念，反映着企业生产的消耗水平和状况，是计算企业盈利水平的一个价值指标。通过以上分析，可以把生产函数和成本函数的关系表述如下：成本函数以产量为自变量，可以由生产函数来确定；生产函数以生产要素投入为自变量，反映着生产成本的水平和状况；在一定条件下成本函数和生产函数可以相互转化。

规模经济的核心问题是规模经济的度量方法。为研究油田原油开发的规模经济度量体系及其相关内容。本章重点分析了生产函数的基本理论，在分析生产函数基本概念和特点的基础上，介绍了生产函数的参数估计，特别对CES生产函数、VES生产函数、超越对数生产函数、含体现技术进步的Solow-Nelson同期模型、边界生产函数等进行了详细地分析。进而探讨了生产函数的选择问题以及成本函数与生产函数的关系，提出了应用生产函数进行规模经济度量的思想和方法。