6.2.1　主成分分析方法

主成分分析的主要目的是希望用较少的变量去解释原来资料中的大部分变异，将我们手中许多相关性很高的变量转化成彼此相互独立或不相关的变量。通常是选出比原始变量个数少，能解释大部分资料中的变异的几个新变量，即所谓主成分，并用以解释资料的综合性指标。由此可见，主成分分析实际上是一种降维方法。

主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。主成分分析正是适应这一要求产生的。

主成分分析法是一种数学变换的方法，它把给定的一组相关变量通过线性变换转成另一组不相关的变量，这些新的变量按照方差依次递减的顺序排列。在数学变换中保持变量的总方差不变，使第一变量具有最大的方差，称为第一主成分，第二变量的方差次大，并且和第一变量不相关，称为第二主成分。依次类推，I个变量就有I个主成分。

主成分分析的主要作用概括起来说，主成分分析主要有以下几个方面的作用。

（1）主成分分析能降低所研究的数据空间的维数。即用研究m维的Y空间代替p维的X空间（m＜p），而低维的Y空间代替高维的X空间所损失的信息很少。即使只有一个主成分Y_l（即m＝1）时，这个Y_l仍是使用全部X变量（p个）得到的。例如要计算Y_l的均值也得使用全部X的均值。在所选的前m个主成分中，如果某个X_i的系数全部近似于零的话，就可以把这个X_i删除，这也是一种删除多余变量的方法。(www.daowen.com)

（2）有时可通过因子负荷a_ij的结论，弄清X变量间的某些关系。

（3）多维数据的一种图形表示方法。我们知道当维数大于3时便不能画出几何图形，多元统计研究的问题大都多于3个变量。要把研究的问题用图形表示出来是不可能的。然而，经过主成分分析后，我们可以选取前两个主成分或其中某两个主成分，根据主成分的得分，画出n个样品在二维平面上的分布状况，由图形可直观地看出各样品在主分量中的地位，进而还可以对样本进行分类处理，可以由图形发现远离大多数样本点的离群点。

（4）由主成分分析法构造回归模型。即把各主成分作为新自变量代替原来自变量X作回归分析。

（5）用主成分分析筛选回归变量。回归变量的选择有着重要的实际意义，为了使模型本身易于作结构分析、控制和预报，好从原始变量所构成的子集合中选择最佳变量，构成最佳变量集合。用主成分分析筛选变量，可以用较少的计算量来选择变量，获得选择最佳变量子集合的效果。

主成分分析（PCA）是多元统计分析中一种重要的方法，是通过多个指标的线性组合，能将众多的具有错综复杂相关关系的一系列指标归结为少数几个综合指标Xn（主成分F_i），既能使各主成分相互独立，舍去重叠的信息，又能更集中、更典型地表明研究对象的特征，还能避免大量的重复工作⁽¹⁾。主成分分析方法的基本步骤是：①对原始指标进行标准化处理，以消除量纲不同的影响；②求无量纲后的相关系数矩阵R；③求R的特征值、特征向量和贡献率；④确定主成分的个数，本书按照特征值大于1以及和累积贡献率（即主成分解释的方差占总体方差的比例）大于85%的原则提取主成分因子；⑤对主成分因子的经济意义作解释，一般由权重较大的几个指标的综合意义来确定；⑥求各主成分的得分并计算综合得分。