我们在第2章中对DEA方法的原理及其CCR模型和BCC模型作了介绍。DEA方法有很多模型，在方法上，不同的模型对变量关系的处理方式有所不同——射线性的和非射线性的。所谓射线性的方法，是指在进行效率衡量的过程中，使各种投入或产出进行同比例的变化；而非射线性的方法则是指各种投入或产出的变化不需按某特定比例进行。前文介绍过的CCR模型和BCC模型都是射线性模型，本章中我们将介绍几种DEA方法的拓展模型，其中加和模型和SBM模型是非射线性的模型，而Hybrid模型则将射线性方法和非射线性方法结合起来使用。在应用上，面对不同的问题，不同的模型有其各自的优势。CCR模型和BCC模型是DEA方法的基本模型，但在解决某些问题时也存在一定的缺陷，比如在存在“坏”产出的情况下，CCR模型和BCC模型则不能对效率进行准确的评估。所谓的“坏”产出是指在生产过程中产生的副产品，这种副产品是人们所不愿意得到而在某种程度上又是无法避免的，最明显的例子是工业生产中产生的“三废”。在效率评估的过程中，“坏”产出与“好”产出不同，在特定的投入水平下，“好”产出越多，效率越高，而“坏”产出越少，效率越高，这一性质是CCR模型和BCC模型所不能处理的。而SBM（Slack Based Measure）模型在解决上述问题方面具有明显的优势。我们将在本章第二节对SBM模型的拓展应用进行介绍。

针对不同的具体问题，DEA方法有很多拓展模型，而不同的拓展模型在实际应用中又可以根据所研究问题的具体情况进行进一步的拓展，在本节中我们将对几种较为基本的拓展模型——加和模型、SBM模型以及Hybrid模型分别进行介绍。

前面讲述的CCR模型和BCC模型都分为产出导向和投入导向的模型。而在这里我们将介绍一种将两种导向的模型结合起来的模型——加和模型（Additive Model，ADD），加和模型从松弛变量入手，是一种非射线性的模型，由于加和模型同时考虑了投入的冗余和产出的不足，因此是将两种导向结合在了一起。

（1）加和模型的基本形式

加和模型有多种类型，我们从中选取了一种类型的加和模型，如式（3．1）所示：

我们利用图3．1对该模型进行说明，图中标出了4个单投入、单产出的DMU：A、B、C和D。式（3．1）的约束条件表明，ADD模型具有和BCC模型相同的生产可能集合，其效率前沿是连续的，包括线段AB和BC。现在我们考虑DMUD是如何被加和模型所衡量的。因为是单投入、单产出模型，所以式（3．1）的目标函数具体到这个例子中就成为s－＋s＋，在图3．1中，我们可以很容易看到s－＋s＋的最大值将在B点出得到，正如图中的虚线所示。很显然，该模型是要得到与D点距离最大的效率前沿上的点，而在寻找这个最大距离的时候同时考虑了过量的投入和产出的不足。

图3．1　加和模型

资料来源：Cooper Data envelopement analysis 95

假设加和模型的最优解为（λ＊，s－＊，s＋＊）。那么在加和模型下，对于一个特定的DMU，当且仅当s－＊＝0并且s＋＊＝0时，该DMU是ADD有效率的。ADD模型是所有投入和产出的松弛变量的加和，因此ADD模型的数值反映的是DMU的非效率程度。ADD模型可以辨识有效率的DMU，但对于存在非效率的DMU，则不能给出具体的反映效率水平的数值，因此在对不同DMU的效率水平进行比较分析时，ADD模型是有其局限性的。

（2）ADD模型与BCC模型的联系

ADD模型同BCC模型存在一定的内在关联性，当且仅当特定DMU是BCC有效率的，该DMU是ADD有效率的。对于这个结论的证明可以在Ahn等人的著作中找到。这里，ADD模型中松弛变量s－＊和s＋＊中隐含了效率高低的成分，但无法得到对效率值θ＊的精确衡量。

同时，ADD模型所衡量的非效率与BCC模型所衡量的非效率在内涵上是有区别的。BCC模型得到的θ＊反映的是Farrell有效（弱有效），而ADD模型反映了以投入和产出的松弛变量确定的全部非效率程度。更近一步讲，这种区别取决于两种模型所使用的方法的不同。ADD模型使用的方法是非射线性的，BCC模型则是射线性的方法。因此在BCC模型（或者CCR模型）中，可以观察到（1－θ＊）表示在不改变各种投入之间比例条件下投入的减少，而（φ＊－1）则反映了产出的增长，这种增长是以不改变各种产出之间的比例为前提的，而ADD模型的结果则是加和了各种投入和产出的所有松弛变量，在这个效率衡量的过程中各类投入和产出的比例会发生变化。

因此严格来讲，ADD模型所衡量的非效率并不是“技术非效率”，而应称为“混合非效率”，所以由于各类投入产出比例的变化导致的非效率和技术非效率是不同的，但在相关的DEA文献中并没有对这两种非效率进行严格的区分，所以我们使用较为宽泛的“技术效率”的定义，这样一来“技术非效率”就将“混合非效率”包含在内了。当需要明确二者之间的区别时，我们会特别指出。

在3．1．1中，我们讲到了使用非射线性方法的ADD模型，ADD模型的最大优点是从松弛变量入手，这样可以考虑到所有非效率的来源，但ADD模型由于其自身设置的缺陷，不能对效率水平进行精确的衡量，从而在使用中具有很大的局限性，在这里我们将介绍另一种非射线性的模型——SBM模型（Slack Based Model），这是一种较为完善的DEA拓展模型，可以很好地解决ADD模型存在的问题。

（1）SBM模型介绍

SBM模型具有两个重要的特性：

①对效率衡量的结果是不受衡量投入和产出项所用的单位影响的。

②效率值与每个投入和产出的差额是单调递减的。

对于有m种投入和r种产出的生产，我们可以得到生产可能集合：

使用SBM模型对具有m种投入和s种产出的DMU（xo，yo）的效率进行衡量，则式（3．3）描述的是SBM模型的基本形式：

在这个模型中，我们假定X≥0。如果xko＝0，则删去目标函数中的如果yro≤0，则用一个非常小的正数将其代替以保证在对效率的预测中发挥作用。

该目标函数值ρ满足上面提到的第一个重要特性，这一点已经得到了证明，因为目标函数里分子和分母中的每一部分都是采用相同的单位。第二个特性也是满足的，通过下面的分析我们可以清楚地看到这一点。

在模型中，ρ＊表示DMU（xo，yo）的效率值表示第k种投入的冗余表示第r种产出的不足，λ是调整矩阵，Xλ表示前沿上的投入量，Yλ则表示前沿上的产出量。

在该模型的目标函数中，为m项投入的冗余占各自实际投入量的比例的平均值，也即m项投入的平均非效率水平，因而分子反映了各项投入的平均的效率水平；为s项产出的不足占各自实际产出量的比例的平均值，也即s项产出的平均的非效率水平，因而则表示了产出的效率水平。可见，在SBM模型中，每个DMU的效率值是各项投入的平均效率水平与各项产出的平均效率水平的乘积。投入和产出的效率水平都会对SBM效率值产生影响。

由模型（3．3）的目标函数形式我们可以清楚地看到，SBM模型采用非射线式的方式直接把松弛变量引入到目标函数之中，这样，相对于射线性的方式来说，因为考虑到了全部的松弛变量，就能够更为准确地对效率值进行评估。由SBM模型的方程形式可以看出，SBM效率值ρ＊满足0＜ρ＊≤1，且ρ＊对于和单调递减，当且仅当s－＝s＋＝0时，ρ＊＝1，也即DMU（xo，yo）处在效率前沿上。

通过式（3．3）的约束条件我们可以观察到，对于任意总是成立的，因而而只有当该生产不需要任何投入时，才会有因此会得到：

但这个约束关系对于产出并不成立，因为产出的不足有可能大于实际的产出量，但在任何情况下都会有：

（2）SBM模型基本形式的求解

在式（3．3）所描述的SBM基本模型中引入一个标量t，则原模型可转化为式（3．6）所描述的线性规划形式：

在此，为了计算方便，我们定义三个新的变量：

则式（3．7）所描述的线性规划形式变为如式（3．8）所描述的关于t，S－，S＋和Λ的线性规划：

假设式（3．8）的最优解是（τ＊，t＊，Λ＊，S－＊，S＋＊），则我们可以得到式（3．6）的最优解：

当且仅当ρ＊＝1时，DMU是SBM有效的。这个条件等同于s－＊＝0且s＋＊＝0，这意味着在最优解情况下，不存在投入的过度使用和产出的不足。

对于一个SBM非效率的DMU（xo，yo），其投入产出向量可以表示为式（3．10）和式（3．11）的形式：

而通过消除投入的过量和产出的不足，DMU（xo，yo）的效率可以得到提升，从非有效变为SBM有效，这一过程被称作SBM投影：

射线性的方法在CCR模型和BCC模型中都进行了介绍，这种方法的缺点是忽略了非射线性投入或产出的松弛变量。非射线性的方法在SBM模型中进行了介绍，这种方法的缺点是忽略了投入或产出的射线性关系。而我们将介绍的Hybrid模型将两种方法融合在一个模型构架之中。

（1）Hybrid模型介绍

令观测数据的矩阵分别为、m和s分别表示DMU的数量、投入的种类以及产出的种类。我们将投入矩阵分解为射线性部分XR∈和非射线性部分，如下所示：

类似地，我们将产出矩阵Y分解为射线性部分和非射线性部分，其中s＝s1＋s2，如下所示：

我们假设这些数据集合是正的，即X＞0，Y＞0。生产可能性集合可以定义为：

其中λ是一个非负向量（必要时，可以添加约束条件，这个条件使模型具有可变规模报酬）。

我们用一些数学公式来描述一个特定的DMU

其中，θ≤1，φ≥1，λ≥0，sR－≥0，s NR－≥0，sR＋≥0，s NR＋≥0，向量sR－∈Rm1和s NR－∈Rm2分别表示射线性和非射线性投入的过量投入，而sR＋∈Rs1和s NR＋∈Rs2则分别表示射线性产出和非射线性产出的不足。我们将过量投入和产出的不足统称为松弛变量。

在式（3．17）～式（3．20）的基础之上，我们可以按如下方式定义一个指数ρ：

从式（3．21）中可以看出，指数ρ与θ呈正相关，而与（Ar）呈负相关关系，该指数的结果同样不随着数据所使用单位的变化而变化。

对于一个特定DMU（xo，yo），当且仅当ρ＝1，也即θ＝1，φ＝1，s NR－＝0且s NR＋＝0时，DMU（xo，yo）是有效率的。

（2）Hybrid模型求解

通过对式（3．21）求解，可以得到用于衡量效率水平的ρ的数值：

假设这个问题的最优解是（θ＊，φ＊，λ＊，s NR－＊，s NR＋＊），则我们可以得到如下结论：当且仅当ρ＝1，也即θ＝1，φ＝1，s NR－＝0且s NR＋＝0时，DMU（xo，yo）是有效率的。

通过Charnes－Cooper转换，Hybrid模型可以转换为式（3．23）所示的线性规划的形式：

如果这个线性规划的最优解为（t＊，Θ＊，Φ＊，Λ＊，SNR－＊，SNR＋＊），则我们可以通过这个最优解得到Hybrid模型的最优解：

（3）非效率的分解

使用Hybrid模型的最优解（θ＊，φ＊，λ＊，s NR－＊，s NR＋＊），我们可以将Hybrid效率值ρ＊分解为四个因素：

射线性投入非效率：

非射线性投入非效率

射线性产出非效率:

非射线性产出非效率：

在此基础上，我们可以定义投入非效率和产出非效率：

从而ρ＊可以用投入非效率和产出非效率来表示：

使用这种表述方式对于寻找非效率的来源是非常有利的，而且能够反映出各种非效率对Hybrid效率值ρ＊的影响。

我们在3．1中介绍了DEA方法中较为常见的三种拓展模型。其中SBM模型具有很多优良的性质，并得到了非常广泛的应用。首先，SBM模型是非射线性的模型，能够充分考虑到全部的非效率来源。其次，SBM模型的设置使其能够得到不同DMU的精确效率值，从而能够进行不同DMU效率水平的比较分析。另外，也是非常重要的一点，SBM模型很容易进行进一步的拓展进而能够处理很多较为复杂的问题，尤其在处理具有“坏”产出和存在不可分情况的问题时具有明显的优势，因而我们将对SBM的模型的相关属性及其拓展模型进行说明。

（1）参考集合

在上述λ＊的基础上，我们可以得到关于DMU（xo，yo）的参考集合的概念。在求解的SBM效率的过程中得到的集合λ＊中，所有的的DMU所构成的集合称为DMU（xo，yo）的参考集合。

当然，不同的DMU，其各自的参考集合是不同的。在此我们仍然以DMU （xo，yo）为例，我们用Ro表示DMU（xo，yo）的参考集合，那么参考集合的数学表达式可写成式（3．32）的形式：(www.daowen.com)

这样的话可以表示为：

点位于效率前沿上，表示的是DMU（xo，yo）提升效率的投影过程的目标点，由上式可以看出，该点是参考集合中的投入产出向量的线性组合。

（2）规模报酬问题

前面对SBM模型相关问题的讨论是在规模报酬不变的假设下进行的，而对于各种规模报酬的情况，我们可以通过在SBM模型基础上增加下列约束条件来实现：

其中，e＝（1，…，1）∈Rn，L（≤1）和U（≥1）分别表示强度系数λ的下限和上限。（L＝1，U＝1），（L＝0，U＝1）和（L＝1，U＝∞）分别对应规模报酬可变（VRS）、规模报酬递减（DRS）和规模报酬递增（IRS）的情况。

（3）SBM模型的导向性

前面在介绍SBM模型中目标函数的同时考虑了投入和产出的松弛变量，可以说不具有投入导向和产出导向的问题，但是SBM模型的这种非导向型其实是同时考虑了投入导向和产出导向的效率。如若单独考虑投入导向或者产出导向的效率，基于松弛变量的方法也是可以使用的，基于松弛变量方法的投入导向和产出导向效率如式（3．36）和式（3．37）所示：

（4）加权SBM模型

在实际的研究中，我们可以根据不同投入产出项的重要性来对模型中的相关项施加权重，如下所示：

而这些权重需要满足如下约束条件：

权重的选择反映了决策者的价值取向，以产出为例，如果所有产出都用同一种单位来衡量，常用的权重选择方法如式（3．40）所示：

这个权重选择方法用第r种产出在所有产出中所占的比重来作为权重，反映了第r种产出的重要程度。投入权重的选择也和产出的情况类似。

（5）非效率的分解

在得知了DMU的效率值后，我们往往需要进一步研究分析非效率的来源。我们可以在式（3．3）所描述的SBM基本模型的基础上，对非效率进行分解。

其中，

αk衡量了第k种投入的非效率水平，βr衡量了第r种产出的非效率水平。

在现实的经济中，在生产产品的同时也会不可避免地产生一些副产品，比如工业生产过程中产生的废气、废水、废渣等，而这些副产品是我们所不希望得到的，我们将希望得到的产出称为“好”产出，而将不希望得到的副产品称为“坏”产出。

在投入一定的情况下，我们希望得到尽可能多的“好”产出和尽可能少的“坏”产出。尤其是随着环境的日益恶化，人们对环境的关注程度越来越高，因此在对经济生产的效率进行衡量时，必须要对环境的因素加以考虑。

（1）带有“坏”产出的SBM模型的模型形式

SBM的基本模型能够对效率进行较为准确的衡量，但是并未考虑“坏”产出对环境的影响。在考虑了环境因素的情况下，如果“坏”产出的量保持不变，那么投入越少，“好”产出越多，效率就越高；而在投入和“好”产出都不变的情况下，“坏”产出的减少会使效率值得到提升。因此，我们可以得到带有“坏”产出的生产可能集合：

其中，x为投入向量，yg为“好”产出向量，yb为“坏”产出向量，同样对于DMU我们对SBM基本模型进行适当的修正，即可用于衡量存在“坏”产出情况下的效率值，如式（3．45）所示：

其中，为第k种投入的冗余为第r种“好”产出的不足为第r种“坏”产出的冗余。

与SBM的基本模型相比，式（3．45）在目标函数中加入了“坏”产出的冗余的因素，从而在对效率值进行衡量的过程中考虑了环境的因素，调整后的SBM模型的目标函数值依然满足0＜ρ＊≤1，且ρ＊对于s－、sg和s b单调递减，当且仅当s－＝sg＝sb＝0时，ρ＊＝1，此时，DMU是有效率的。

（2）带有“坏”产出SBM模型的求解

对式（3．45）进行一下变换，Charnes和Cooper（1962）得到一个等价的线性规划，如式（3．46）所示：

假设（t＊，Λ＊，S－＊，Sg＊，Sb＊）是式（3．46）的最优解，那么我们就得到了式（3．45）的最优解：

式（3．46）保证了（λ＊，s－＊，sg＊，sb＊）的存在，并且t＊＞0。带有“坏”产出的SBM模型是在SBM基本模型的基础上发展而来，其相关属性与SBM模型相同，这里不再具体描述。

在进行效率评估的过程中我们还必须注意到这样一个现实：特定的“坏”产出和相应的“好”产出通常是不可分的。在特定生产技术条件下，减少“坏”产出产量都会不可避免地伴随着“好”产出产量的减少。而且也经常会出现某种特定“坏”产出和某种投入紧密相连，进而这种“坏”产出和对应投入也是不可分的，例如在电力行业，氮的氧化物和二氧化硫的排放量是与作为投入的燃料的消耗量成一定比例的。

为了对投入产出之间存在不可分性的情况进行分析，我们将投入和“好”产出分为可分的和不可分的，而“坏”产出自然是不可分的。进而我们可以得到生产可能集合如下：

其中，xS是可分投入向量，xNS是不可分投入向量，ySg是可分“好”产出向量，yNSg是不可分“好”产出向量，yNSb是不可分“坏”产出向量。

由上面的分析可知，由于不可分投入、不可分“好”产出与不可分“坏”产出具有紧密关联，而且在特定生产技术条件，三者之间是成一定比例的。因此，我们分别用αxNS、αyNSg和αyNSb表示不可分投入、不可分“好”产出和不可分“坏”产出的变化，这样便体现了三者之间不可分的特性。其中，0≤α≤1。

如果DMU是不可分条件下生产可能集合中的点，如果满足下列两个条件，则DMU是有效率的：

①可分投入和可分“好”产出固定不变，如果不可分投入保持不变，不可分“好”产出和不可分“坏”产出在现有技术水平条件下不可能得到缩减。

②在生产可能集合中不存在另外一个点，使得在不可分投入、不可分“好”产出与不可分“坏”产出与DMU0相同的条件下，可分投入比DMU0更少，或者可分“好”产出比DMU更多。

上述对于DMU有效率的条件用数学语言来表述如下所示：

①对任意α（0≤α＜1），有

②不存在使得（其中至少有一个式子是不等式）。

同时满足这两个条件，则DMU在不可分条件下是有效率的。

在带有“坏”产出且投入产出之间存在不可分性质的条件下，对DMU）的效率进行评估，可通过式（3．49）来进行：

在目标函数中表示不可分投入减少的平均比例，表示不可分“好”产出和不可分“坏”产出减少的平均比例。这样一来，就使得不可分投入、不可分“好”产出和不可分“坏”产出三者之间的不可分性质在效率评估的过程中得到了考虑。

目标函数是关于skS－（Ai）、srSg（Ar）和α单调递减的，假设式（3．49）的最优解是（ρ＊，λ＊，sS－＊，sSg＊，α＊），则有0＜ρ＊≤1。当且仅当ρ＊＝1，也即sS－＊＝0， sSg＊＝0，α＊＝1时，DMU是在不可分条件下有效率的。

如果DMU是在不可分条件下非效率的，也即ρ＊＜1，那么通过式（3．50）～式（3．54）所示的投影过程可以获得效率的提升，从而变为不可分条件下有效。

式（3．49）对存在“坏”产出情况下的不可分性问题进行了较好的解决，但仍然存在一些缺陷。

首先，由式（3．49）的约束条件我们可以得到如下关系式：

这意味着在含有不可分投入和产出的模型中，即使在经过了投影过程的调整后，仍然有一些松弛变量是正的，而且这些数值上仍然为正的松弛变量并不包含在最后的不可分条件下的效率值之内，因为我们假设了“坏”产出减少的比例（α＊），对可分投入产出应用的是非射线性的方法，而对不可分的投入产出则是使用的射线性的方法。

另外，在模型的使用中，需要对α的取值设定一定的约束条件。我们的原则是，对于不同的DMU，分别设定其α使得不可分“好”产出的量减少以后而“好”产出的总量保持不变，其数学表达式即为：

这样，在存在“坏”产出且存在不可分情况下，我们得到了较为完善的效率评估模型：

其中，m1为可分投入的种数，m2为不可分投入的种数，s11为可分“好”产出的种数，s21为不可分“好”产出的种数，s22为不可分“坏”产出的种数。

在模型（3．49）中，由于设定了三者之间变化的共同比例α，因此我们对这三者关系的处理使用的是射线性的方式，对于这三个变量，其松弛变量不会被完全地纳入到模型的目标函数中来，因而在模型（3．49）的基础上，模型（3．59）对目标函数的设定进行了一些调整，在分子和分母中分别加入了和，这就使得所有变量的松弛变量都被完全纳入到模型中予以考虑，从而可以对带有“坏”产出的不可分情况下的效率值进行准确的评估。其中分子表示了各种投入的平均效率值，而分母的倒数则表示了各种产出的平均效率值。

这样，对模型［SBM－NS＊］求解即可得到在带有“坏”产出且不可分条件下的效率值。0＜ρ＊≤1，且ρ＊对各松弛变量单调递减，对α单调递增，当且仅当所有松弛变量为0，且α＝1时，ρ＊＝1。

同3．1．3中Hybrid模型的分解类似，基于SBM模型基础上的不可分的“好”产出和“坏”产出模型可写成如下形式，从而对非效率的来源进行了分解。

可分投入非效率

不可分投入非效率

可分“好”产出非效率

不可分“好”产出非效率

不可分“坏”产出非效率

大部分DEA模型（包括SBM模型）中普遍存在的一个问题是往往有效率（等于1）的决策单元不止一个，即存在着一个以上的有效率单元。因此，进一步区分这些有效率的生产单元成为一项必须面对的问题，即有效单元的排序问题。许多研究者进行过有益的尝试，他们区分这些有效单元的一个办法是允许效率值大于1或等于1，而不再限制等于1，因而称为超效率（Supper Efficiency）。从超效率的研究进展来看，较成功地解决了此类问题的主要是Tone在其SBM模型的基础上提出的SBM超效率模型（Super－SBM）。

Tone首先定义了一个排除了DMU（xo，yo）的有限生产可能性集：

其中P＼（xo，yo）是指排除了DMU（xo，yo）的生产投入集合，在P＼（xo，yo）投入集的基础上，再定义一个子集合P＼（xo，yo）：

由于X＞0，Y＞0，所以P＼（xo，yo）是一非空集合。它的含义指（xo，yo）到（x，y）∈P＼（xo，yo）的平均距离，利用此距离定义指数δ：

δ的含义可解释如下：δ的分子指到的平均距离，表示从xo到集合空间的点的平均扩张程度或扩张率；分母指yo到的平均距离，表示从yo到集合空间的点y的缩减程度或缩减率。δ的分母越小，yo到的距离就越远。因此，δ就解释成投入空间和产出空间中，特写生产单元与生产前沿面的平均距离。基于上述集合的定义与解释，DMU（xo，yo）的SBM超效率的规划问题可写为：

求解式（3．69）即可得到各DMU的SBM超效率值。

[1]本章参考Cooper＿Data Envelopment Analysis＿2nd Edition