为了使模型便于描述、分析、计算以及易于理解，在建立模型时，对模型都给出相应的假设条件。

1.不允许缺货，补充时间很短的存储模型（模型一）

（1）假设条件。

① 缺货费用无穷大。

② 当存储量降低为零时，可以立即得到补充，即把提前时间近似地看做零。

③ 需求是连续和均匀的，设单位时间的需求量即需求速度R为常量，则t时间的需求量为Rt。

④ 每次订货量不变，订货费不变。

⑤ 单位存储费不变。

（2）存储状态图。

存储状态的变化如图12.3所示。

图12.3

（3）模型建立。

由于此模型是可以得到立即补充，因此不会缺货，所以此模型不再考虑缺货的费用。此时用总平均费用来衡量存储策略的优劣，即此问题的目标函数可用总平均费用最小来建立。

由图12.3看出，每隔时间t就补充一次存储，那么订货量必须满足t时间的需求Rt，则订货量Q=Rt。设一次订货费为C3，货物单价为K，那么订货费为C3+KRt，同时t时间的平均订货费为。对图12.3利用几何知识可以得出，平均存储量为三角形高的二分之一，那么t时间内平均储存量为

设单位存储费用为C1，则t时间内的平均存储费用为，那么t时间内总平均费用为

问题是t取什么值时C(t)能达到最小。现在将公式（12.1）两端对时间t求导，并令其等于0，即有

解以上方程得最佳订货周期：

即每隔时间t0就订货一次可使C(t)能达到最小，其最佳订货量为

公式（12.3）为存储论中著名的经济订货批量（Economic Ordering Quantity）公式，简称为EOQ公式，也称平方根公式，或经济批量（Economic Lot Size）公式。

在总平均费用公式（12.1）中，Q0、t0都与货物单价K无关。为了分析和计算的方便，如无特殊需要，可以不再考虑此项费用，因此公式（12.1）可以改写为

再将t0代入公式（12.4）中，可以得出最佳平均费用公式：

例12.1　某单位对某产品的需求量是1000件/月，每批的订货费是10元，不允许缺货，货物到达后存入仓库，每月每件产品的存储费是0.5元，怎样组织进货最划算？

解　由题意可得到R=1000件/月，C3=10元/批，C1=0.5元/月件，根据公式（12.2）、公式（12.3）和公式（12.5）计算如下：

最佳订货周期为

最佳订货量为

最佳平均费用为

由此可以知道，应该每隔0.2个月即6天进货一次，每次进货的数量为200件，这样就能使总平均费用达到最小，为每个月100元。

例12.2　在例12.1的基础上，对某产品的需求量提高四倍，即4000件/月，其他条件不变，那么最佳订货量是否也提高到四倍，即800件？

解　此时R=4000件/月，可以分别求出以下各量：

最佳订货周期为

最佳订货量为

最佳平均费用为

由此可知，应该每隔0.1个月即3天进货一次，每次进货的数量为400件，总平均最小费用为每个月200元。此种情况尽管对某产品的需求量提高了四倍，但最佳订货量却不是提高到四倍。

特别提示(www.daowen.com)

通过以上两例可见，需求速度与订货量并不是同步增加的，这也说明了对每个问题建立存储模型的必要性。

2.允许缺货，补充时间很短的存储模型（模型二）

在某些情况下，允许缺货也可能有利，允许缺货是指企业可以在存储量为零时，再过一段时间进货。这意味着企业可以少付几次订货费及存储费，但缺货会造成一定损失，因此需要在量化方面对缺货损失加以研究。

（1）假设条件。

① 设单位产品的缺货损失费为C2，顾客需求在进货后供应。

② 其他假设与模型一相同。

（2）存储状态图。

存储状态的变化如图12.4所示。

图12.4

（3）模型建立。

设单位存储费用为C1、单位产品缺货损失费为C2；每一次订购费为C3，需求速度为R。再假设最初的存储量为S，可以满足时间t1的需求，那么t1时间的平均储存量为,在(t－t1)的时间内存储量为零，平均的缺货量为：。在(t－t1)时间内，由于S仅能满足t1时间的需求，则有S=Rt1或。

在t时间内所需的存储费为

在t时间内所需的缺货费为t时间内总平均费用为

式中有两个变量，可利用多元函数求极值的方法求C(t,S)的最小值。令

解上式可以得到

再令

将公式（12.6）代入上式消去S后，得到最佳订货周期：

再将公式（12.7）代入公式（12.6），可以得到最佳存储量：

将公式（12.7）和公式（12.8）代入t时间内总平均费用公式，可以得出相应的平均最小费用公式：

当缺货损失费C2趋近于无穷大时，C2/(C1+C2)趋近于1，同样(C1+C2)/C2也趋近于1，因此公式（12.7）、公式（12.8）和公式（12.9）就与模型一的三个公式对应相同。通过对比发现，模型二的最佳周期t0是不允许缺货最佳周期的倍，因为(C1+C2)/C2>1，所以相当于模型一是两次订货周期的延长；同理，因为C2/(C1+C2)<1，所以缺货时的平均最小费用比不允许缺货时要低一些。

在不允许缺货的情况下，为了满足t0时间内的需求，订货量Q0=Rt0，即有

显然，Q0≥S0，它们的差值即为t0时间内最大缺货数量，即

特别提示

在允许缺货的状态下，最佳存储策略是每隔t0时间就订货一次，订货量为Q0，同时将Q0中一部分用以弥补所缺的货物数量，剩余部分S0进入储存。显然，在同一个时间段内，允许缺货时的订货次数比不允许缺货时的次数少，其总平均费用也相应低一些。

例12.3　已知需求速度R=100件/月，单位存储费用C1=0.5元/件月，单位产品缺货损失费C2=0.2元/件，每次订货费C3=5元/批，求最佳订货周期t0、最佳存储量S0、平均最小费用C0、最佳订货量Q0。

解　根据公式（12.7）、公式（12.8）、公式（12.9）和公式（12.10）依次进行计算：

最佳订货周期t0为

最佳存储量S0为

平均最小费用C0为

最佳订货量Q0为

由此可知，在0.84个月即25天左右的时间内，最大的缺货数量为84-24=60件。