(M/M/1):(N/N/FCFS)排队模型和(M/M/1):(∞/∞/FCFS)排队模型在结构上的区别是系统的容量有限，即系统最多容纳的顾客数为N个；顾客的来源有限，即顾客源的总体为N个；另外，每个顾客到达并经过服务以后，仍然回到原来的顾客源，所以这个顾客仍然可以再来。

下面以技术人员维修机器问题来引出相关的参数。

假设一名技术人员负责维修一定数量的机器，当某台机器坏的时候，可能因为已经有机器正在修理，机器不得不排队等待。在正常情况下，技术人员负责维修机器的数目一般不能太多，即不能把机器当成是无限的顾客来源，否则会造成不切实际的偏差。另外，这个系统的容量是有限的，因为有限的顾客源会自动地形成系统的容量。显然，这是一个生灭过程，即典型的(M/M/1):(N/N/FCFS)排队模型。

现在假定一名技术人员负责N台机器的维修，每一台机器从维修好到再次损坏时的平均周转时间为1/r，服从指数分布，因为指数分布有“无记忆性”的特性，所以r即为一台机器维修时的到达强度。如果有N-1台机器进入维修状态，即只有一台机器正在工作，那么到达强度为 r；如果有两台机器正在工作，由泊松分布的可加性可知，那么到达强度为 2r。正在工作的机器数等于服务机器总数N与进入维修状态的机器数n之差，所以系统在状态为n时的到达强度为

假定对一切n，服务强度μn=μ。

1.(M/M/1):(N/N/FCFS)排队模型的相关指标

（1）状态概率分布Pn

由公式（11.63）可得

于是有

（2）队长L

为了推导L、Lq、W和Wq，需要求出系统的平均到达强度λ。由于机器总数为N，系统内的平均队长为L，所以系统外的平均数为N-L，于是有

可以把λ/μ理解为服务员的占用率，则有

即有

于是有

（3）排队长Lq

（4）顾客平均停留时间W

（5）顾客平均等待时间Wq

2.(M/M/1):(N/N/FCFS)排队模型的示例(www.daowen.com)

下面以一个例题，对(M/M/1):(N/N/FCFS)排队模型的相关运行指标进行计算。

例11.5　一名机修工人负责4台机器的维修工作。假设每台机器在维修之后平均可运转5天，服从泊松分布，而平均修理一台机器的时间为2天，服从指数分布，现在计算此排队系统的有关运行指标。

解　这是一个(M/M/1):(N/N/FCFS)排队模型，依题意有N=4，r=1/5=0.2，μ=1/2=0.5。

（1）没有机器维修的概率P0。

根据公式（11.64）有

（2）2台机器处于维修状态的概率P2。

根据公式（11.63）有

（3）4台机器全部处于维修状态的概率P4。

根据公式（11.63）有

（4）队长L。

根据公式（11.66）有

（5）排队长Lq。

根据公式（11.67）有

（6）机器维修的平均停留时间W。

根据公式（11.68）有

（7）机器维修的平均等待时间W。

根据公式（11.69）有：